水泥土统计损伤本构模型研究

　　摘 要：为了探索工程实际中水泥固化土的应力-应变关系及水泥土变形规律，参考岩石统计损伤本构模型的思路来构建水泥土统计损伤本构模型。假设水泥土微元强度服从Weibull概率密度分布，并引入初始损伤系数η，建立单轴压缩荷载下水泥土的统计损伤本构模型。根据应力-应变曲线峰值点的极值性进行模型参数求解，分析不同水泥掺量、不同龄期的水泥土累积损伤的扩展过程。通过对水泥土单轴压缩试验数据进行验证与分析发现，随着水泥掺量以及龄期的增加，水泥固化土模型参数η值增大，m值，F0值减小，表明龄期和水泥掺量能够抑制水泥固化土损伤发展。新建立的水泥土统计损伤本构模型拟合效果较好，并能较好地反映水泥土的应变软化特性，可为水泥固化土的应力分布特点和变形规律研究提供一定参考。

　　关键词：复合建筑材料;水泥土;应变软化;微元强度;统计损伤理论;本构模型

　　水泥土是以土顆粒为骨料、硅酸盐水泥为胶凝材料、水为反应媒介的混合物，已被广泛应用于地基加固、基坑支护、堤坝截渗等工程[1-4]。研究其在应力状态下的应力-应变关系有利于掌握水泥固化土的应力分布特点和变形规律。

　　王立峰等[5]在试验的基础上，以塑性理论为指导，采用相关联的流动法则，假定塑性功硬化规则，推导出纳米硅水泥土材料的弹塑性本构关系;童小东等[6]利用连续介质损伤力学的基本原理，推导出水泥加固土的弹性损伤本构方程;陈四利等[7]对饱水环境中水泥土力学特性的宏观和微观破裂过程试验研究，建立了水泥土细观孔隙损伤变量和损伤本构模型。

　　上述研究反映出损伤力学是获取水泥土应力-应变关系的有效方法。而水泥土作为一种复杂的混合物，内部存在较多的缺陷，具有明显的非均匀性[8-10]，宏观的破坏可以看作是众多微观破坏的平均效应。笔者借鉴相关岩石本构模型[11-12]，引入统计损伤理论，假设水泥土内部的微元强度服从某种概率密度的统计分布，基于连续介质损伤力学，推导建立水泥土在单轴压缩荷载下的统计损伤本构模型，并通过试验数据对该理论模型进行验证。

　　1 水泥土统计损伤本构模型

　　1.1 模型的建立

　　根据Lemaitre应变等价性假说[13]，损伤材料在有效应力作用下产生的应变与同种材料无损时发生的应变等价。可以得到：

　　式中：D为损伤因子;σ为水泥土微元所受的宏观应力;σ*为未损伤部分受到的微观应力。

　　当损伤因子D=0时，为对应材料的无损状态，当损伤因子D=1时，为对应材料的破坏状态，有效应力σ*=0。通过大量试验发现[3-7]，水泥土具有应变软化特性，水泥土材料破坏后存在一个残余强度，是指水泥土材料应力-应变曲线的峰后剩余强度，此时水泥土材料还具备一定的承载能力。为了描述水泥土的应变软化特性，参考岩石材料修正损伤因子的做法，引入一个初始损伤系数η[14]，则式(1)变为

　　假设受载时水泥土名义轴向应变为ε，未损伤部分水泥土微观轴向应变为ε′，损伤部分微观轴向应变为εr。并认为受载过程中，水泥土的损伤部分与未受损部分始终紧密的混杂在一起，根据变形协调关系，有：

　　假设水泥土微元应力-应变关系符合胡克定律，即可得到水泥土损伤本构方程：[4]

　　1.2 损伤演化方程

　　由于水泥土是由多种材料混合养护而成的，内部存在较多的缺陷，且这些缺陷随机分布在水泥土中，同时水泥土的强度是诸多因素(如土的矿物成分、颗粒粒径、水泥性质以及缺陷分布)共同作用的结果，因此可以认为水泥固化土的微元强度也是一个随机变化的量，并服从统计分布的规律。假定水泥土微元强度服从Weibull分布[11]：

　　以轴向应变ε分布表征水泥土微元强度F的分布，可得到考虑残余强度的水泥土统计损伤本构模型：

　　2 水泥土损伤本构模型参数确定方法

　　从式(9)可以看出，模型参数m，F0的确定是建立其模型的关键，有以下2种方法可进行求解：

　　1)试验数据处理后线性拟合

　　对试验数据进行上述变换后，进行线性拟合，便可得到模型参数m和F0的具体数值。

　　2)考虑水泥土应力-应变关系曲线的几何条件(极值)，进行参数求解

　　3 水泥土单轴压缩试验验证

　　3.1 模型参数求解及损伤累积

　　笔者引用薛慧君等[15]完成的水泥土单轴压缩试验数据对本模型进行验证分析，试验采用内蒙古土默川地区的粉质黏土，水泥为普通硅酸盐水泥 P.O 42.5 。第1种参数求解方法虽有较好拟合效果，但参数本身物理意义不明确，具有一定主观性，对于不同岩石材料的应力-应变关系未必具有适用性，而第2种参数求解方法物理意义相对明确，更可得到适用于不同应力状态的参数表达式，该方法相较前者更具优越性[12-13]。根据试验数据，笔者采用第2种参数求解方法，得到模型参数的具体数值，如表1所示。

　　通过表1可得不同水泥掺量α(质量分数，下同)、不同龄期T的水泥土损伤累积过程曲线，如图1和图2所示。

　　图1和图2能反映水泥土损伤发展的全过程，曲线呈类“S”型，随着轴向应变的增大，在从图中也能发现，达到损伤阈值时，水泥土的损伤开始不断累积，并且累积速度逐渐变缓，累积损伤量趋近于1。相同的损伤变量下，更高水泥掺量和更高龄期的累积损伤量比更低水泥掺量和更低龄期应变值始终更小，说明水泥掺量和龄期的增大会抑制损伤发展。

　　3.2 模型验证

　　不同水泥掺量α、不同龄期T的水泥土单轴荷载下的本构模型预测曲线如图3和图4所示。

　　从图3中可以看出，由于在损伤本构方程中引入统计损伤变量和考虑残余强度的初始损伤系数η，使得试验数值与拟合曲线吻合较好，能够较好的反映水泥土单轴压缩荷载下的应力软化特性。

　　相同龄期的水泥土随着水泥掺量的增加，初始损伤系数η值增大，即残余承载力与最大承载力之比减小。同时参数m值，F0值随水泥掺量增加而呈现了减小的趋势，从Weibull分布的几何意义出发，即可以认为m值反映了水泥土强度的均质度，m越小，则固化土微元的强度分布越不均匀;而F0值反映了Weibull分布变量的平均值，F0值减小反映出水泥土破坏时的脆性增大，这一点也能通过应力-应变曲线直观的看出。

　　对于同种掺量，不同养护龄期的水泥土，随着龄期的增加，模型参数的变化趋势与水泥掺量增加时的趋势相同。即初始损伤系数η值增大，m值和F0值减小，这与水泥土内微元强度增长的不均匀以及脆性增强有关。

　　图5反映了不同的初始损伤系数η进行拟合时对水泥土应力-应变曲线的影响，可以看出，η值大于或小于0.954时，拟合效果都不如η=0.954时的理想。当η值越小时，水泥土软化后表现出更高的残余承载力，而当η=1时，水泥土软化后不再具有残余强度。从而验证了以初始损伤系数η反映水泥固化土具有残余强度特性的合理性。

　　4 结 语

　　1)引入统计损伤理论，假设水泥土微元强度服从Weibull分布，考慮残余强度，建立了单轴压缩荷载下水泥土的统计损伤本构模型，所建参数较少，且与试验结果吻合良好。

　　2)通过考虑水泥土应力-应变关系曲线的极值条件进行参数计算，进行损伤演化方程的求解，得到累积损伤曲线。累积损伤曲线呈类“S”型，水泥掺量和龄期的增大会抑制损伤发展。

　　3)本构模型中，初始损伤系数η反映了水泥土受载完成后承载力的耗损，即1-η值反映了残余强度特性，m值表征了水泥土微元强度分布的均质度，F0则反映了各微元的平均破坏应变。随着水泥掺量以及龄期的增加，水泥固化土的模型参数η值增大，m值和F0值减小。

　　本文所建统计损伤本构模型反映了水泥土的应变软化现象，后续研究可开展多因素影响的水泥土力学试验，为本构模型的建立提供更多依据，将统计损伤本构模型应用到数值软件中，进一步研究水泥固化土的应力分布特点和变形规律，为实际工程建设奠定基础。

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