数学教师发表论文分析二面角的平面角定位

　　【摘要】空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。文章发表在《数学通报》上，是数学教师发表论文范文，供同行参考。

　　【关键词】平面角;定性分析;定位作图;定量计算;点;垂线段;垂平面

　　二面角的平面角的特征

　　α、β是由 出发的两个半平面,O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l;CD β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

　　它有如下列特征：

　　(1)过棱上任意一点，其平面角是唯一的;

　　(2) 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;

　　另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征(2)知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征;

　　(3)：体现出三垂线定理(或逆定理)的环境背景。

　　2二面角的平面角的特征剖析

　　由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。

　　特征(1)表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

　　特征(2)指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与 α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：

　　由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

　　特征(3)显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由B作OB⊥l于O，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l;或由A作OA⊥l于O，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。

　　由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.

　　以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

　　3二面角的平面角的定位分析

　　[例1]：已知E是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=2，BC=1，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。

　　解析：取AE中点P，BC中点Q.则可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，

　　∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

　　经计算得：∠D′QP= 23

　　找“点”，由定义确定二面角的平面角。

　　[例2]：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。

　　解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

　　在平面图形中过B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变.但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征(2)知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。

　　另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

　　经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO·CDAD=2720 ，

　　在Rt△BEO中，设∠BOE=θ ，则cos θ=OEOB=916，

　　∵0°<θ<180° ，∴θ=arccos916 ，

　　即所求二面角B-AC-D为arccos916 ，

　　通过对[例2]的定性分析、定位作图和定量计算，由特征(2)从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。

　　由“垂线段”定位二面角的平面角。

　　[例3]：已知 二面角α-a-β为 ，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA=8cm，PB=10cm.求P点到a的距离。

　　解析：过PA 、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，

　　由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，a β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，

　　∵AO ，BO ，∴a⊥AO， a⊥BO，

　　∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB=120°，

　　连PO，由PO，得a⊥PO.∴PO的长为P点到a的距离。

　　经计算：AO =43 (cm)，PO=PA2+AO2=82+(43)2=47 (cm).

　　由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

　　[例4]：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点.求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。

　　解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征(2)知，这两个二面角的大小必定互补.通过特征(3),我们只须由C′ (或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′ (或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。

　　经计算可得：H′C′=455 ，在Rt△D′C′H中， ∠D′HC′=D′C′H′C′ =52，

　　故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 .

　　二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。

　　[例5]：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。

　　解析：图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点.通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。

　　延长DC、D1E交于F，连AF，得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，过C作CH⊥AF于H，连EH，

　　∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF(三垂线定理)

　　∴∠ EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角.

　　可设正方体棱长为a，经计算得：EC=CG=a2 ，CF=a，GF=52a ，CH= ，55a

　　∴tan∠ EHC=ECCH=52，

　　即所求二面角的正切值为52.

　　[另]：△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA，

　　S△DFA=12DF×DA=a2 ，又D1A=2，S△D1FA =12D1A×322a=32a2，

　　由射影面积法，所求角(记为 θ)的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23，

　　则所求二面角的正切值为52 。

　　[另]：还可用向量法求二面角的平面角。

　　定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得.而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。

　　综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。

　　数学教师发表论文须知：《数学通报》是由中国数学会和北京师范大学合办的、以中等学校数学教师为主要服务对象的数学教育刊物。《数学通报》初创时的刊名叫《数学杂志》，1936年8月1日在上海正式出版，是我国第一份全国性的数学普及刊物。因抗日战争和解放战争，1939年至1950年被迫停刊。1951年11月复刊，改名为《中国数学杂志》，毛主席亲自题写了刊名，1953年更名为《数学通报》，请郭沫若题写了刊名。1966年因“文化大革命”停刊，1979年7月复刊至今。

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