有趣的循环小数

　　摘要：本文讲述了几种类型的循环小数的循环节，主要以除数为质数举例简单分析了其循环节奇妙现象的内在原因，发掘了循环小数更多的趣味性。

　　1、循环小数

　　1、1循环小数的产生

　　循环小数是由一个被除数除以一个除数，其余数永远不为零时，便会产生循环小数。在所有的除数当中，任可不带循环节的数除以都不会产生循环小数，而当除数为2时，其得数与乘以5以后再除以10是一样的，同样，当除数为5时，其得数与乘以2以后再除以10相同，这两种情况也不会产生循环小数。在10进制中，除了的因数(例如2、5、4、等)之外的除数，都会产生循环小数。

　　1.2循环节

　　把一个真分数a/b(0

　　2、 循环节与其被除数的关系

　　2.1在讨论循环节与其被除数关系之前，先让我做一下说明，任何一个十进制数C,都可以表示为(C-1)后边跟以9为循环节的形式，例如，2可以为化为1.循环小数的形式，0.17可化为1.76循环小数的形式。请让我把这种形式暂时定义为数字的动态形式。从极限的角度看是成立的。

　　2.2循环节的位数及个数与一个真分数a/b中质数b有关，所有的十进制数a都可化成循环节为9的循环小数，在计算过程中,先计算1/b的情况，且把平常补0的形式改成以补9的形式进行计算，于是不难看出，循环节的位数最多为b-1位，即有b-1位9组成的数字是b与其产生的循环节的乘积。在a/b化小数的计算过程中，所得的循环节a乘以由1/b产生的循环节即可得到。例：1/3小数点后第一位9就能被3整除，循环节为3，2/3的循环节为2*3=6。所以当b为3时，在余数后补一个9就能产生一个一位的循环节了，b为11时，两个99就能产生一个二位数的循环节，当b为41时，小数点后补5个9就能产生一个循环节了。当b为一个质数时，若t个9就能产生一个循环节，即b 为t 位9组成的数的一个因数，b能产生的循环节有(b-1)/t个，每个循环节的位数为t位。

　　3、循环节的奇妙性质

　　3.1在a/b中，b为质数，a为从1到(b-1)中的任意整数，且a+d=b，那么由余数为a时产生的循环节与余数为d时产生的循环节之和为由9组成的数。例①：1/3的循环节3与2/3的循环节6之和为9。例②：1/11的循环节与10/11的循环节09与90是同一个循环节的两个形式，也就是说1/11化小数的过程中出现了余数为10的情况，10=11-1，那么这个循环节自身前后两部份之和也为9组成的数，0+9=9。例③：1/7产生的循环节为142857，而6/7产生的循环节为857142，那么142857+857142=999999，实际上1/7与6/7产生的环是相同的，都是142857，因为在1/7化小数的过程中也出现了余数6的情况。例④：1/41与40/41的循环节分别为02439、97560，相加后为99999，如果在同一个循环节里前后两部份和为由9组成的数字时，人们称为半九律，而相同除数下产生的循环节中，某循环节与别的循环节也会出现这种相加为9组成的数字，请暂时允许我称着它和九律，把半九律和它和九律现象统称为合九律。

　　3.2在a/b产生的循环节中，从循环节上的某位数字开始，依次用后一位数字减去前一位数字的结果会形成互为相反的两组数。这种情况可能在本个循环节里出现，也许出现在d/b中，且a+d=b 。⑴：以1/17为例，其循环节为0588235294117647，依次用循环节上的后一位数减去前一位数：5-0=+5 8-5=+3 8-8=0 2-8=-6 3-2=+1 5-3=+2 2-5=-3 9-2=+7;4-9=-5 1-4=-3 1-1=0 7-1=+6 6-7=-1 4-6=-2 7-4=+3 0-7=-7，前半部份与后半部份刚好形成相反数字关系。⑵：以41为例，能产生的循环节有8个，每个有5位数字，即：02439、04878、07313、09756、12195、14634、26829、36585。以b为1与b为40时产生的循环节02439与97560为例，把02439+97560=99999，且2-0=+2、4-2=+2、3-4=-1、9-3=+6、0-9=-9，而7-9=-2、5-7=-2、6-5=+1、0-6=-6、9-0=+9。前一个循环节计算后的结果与后一个循环节计算后的结果是两组符号相反的数。(3)：质数3产生的循环节同样具有以上规律，1/3的循环节为3，而2/3的循环节为6，3+6=9，3-3=6-6=0。

　　以上这种情况都是由于3.1中合九律的原因，以1/7的循环节142857为例，其中4-1=3与(9-4)-(9-1)去括号后为9-4-9+1=-(4-1),只是符号相反了，但是可以看出循环小数美丽的另一面。

　　4、循环节奇妙的本质

　　4.1在进行a/b化小数的计算中，若有余数为(b-a)时，若把商增加1，则出现的余数为-a，把这个增加的1以0.

　　后用相应位数的9减去除数为a时已求出的商数的相应数字就是后边的商的数字。以1/7为例，当计算到余数为2时补0商2余6，若是商3则余数为-1，运用数字的动态形式再把3改成2.的形式再计算，那用相应的999-142=857，所以142+857=999。这种现象有人定义为半9律，像1/7这样的情况从1到6，即从1到(b-1)都全参与了，则其产生的循坏节位数为b-1位，并且前半部分与后半部分数字的和为(b-1)/2位9组成的数。如果在a/b化小数的计算过程中不会出现余数为(b-a)的情况，则产生的所有环都不会有半9律的现象。如果在a/b化小数的计算过程中，其循环节为t位，而不是(b-1)位，并且每个循环节本身都没有半9律的现象，则a/b与(b-a)/b产生的两个循环节相应的按顺序相加为t位9组成的得数。

　　4.2在a/b化小数的计算过程中，如果其循环节位数为(b-1)，则把所有不重复的余数相加即从1加到(b-1)和为(b-1)*b/2,如果其循环节位数为t，则把参加产生循环节的余数相加和为m个b,m为整数，并且a/b化小数中参加产生循环节的余数之和为m*b,那么(b-a)/b中参加产生循环节的余数和为(t-m)个b 。

　　4.3在1/b化小数的计算过程中，如果其循环节为t位，则(b-1)/b的循环节位数也一定为t位，从1到(b-1)被除数的分别计算所得的循环节的位数不会超过被除数为(b-1)的循环节位数，也不会少于被除数为1的循环节的位数，故都为t位，且t只能为(b-1)的一个因数。这种情况也是由于b是t位9组成的数的一个因数的原因。

　　参考文献：潘承洞 潘承彪 初等数论[M] 北京大学出版社 1993 135-138

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文章名称： 有趣的循环小数

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