探究“等”对“不等”及其启示职称论文发表

　　摘要：数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用数学。 纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。文章发表在《电视技术》上，是数学论文发表范文，供同行参考。

　　关键词：等,不等

　　1.否定特例，排除错解

　　解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式(方程)的解或者是它的定义区间的端点(这里我们把+∞、-∞也看作端点).因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示.

　　例1　满足sin(x-π/4)≥1/2的x的集合是().

　　分析：由x=-2不是原不等式的解排除A、C，由x=2是原不等式的一个解排除D，故选B.

　　这两道题若按部就班地解来，例1是易错题，例2有一定的运算量.上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌.选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分.而且是重要的一部分.我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智.在解不等式的解答题中，我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围.

　　例3　解不等式loga(1-1/x)>1.(1996年全国高考试题)

　　分析：原不等式相应的等式--方程loga(1-1/x)=1的解为x=1/(1-a)(a≠1是隐含条件).原不等式的定义域为(1，+∞)∪(-∞，0).当x→+∞或x→-∞时，loga(1-1/x)→0，故解区间的端点只可能是0、1或1/(1-a).当01，可猜测解区间是(1，1/(1-a));当a>1时，1/(1-a)<0，可猜测解区间是(1/(1-a)，0).当然，猜测的时候要结合定义域考虑.

　　上面的分析，可以作为解题的探索，也可以作为解题后的回顾与检验.如果把原题重做一遍视为检验，那么一则费时，对考试来说无实用价值，对解题实践来说也失去检验所特有的意义;二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错误运算程序的复辙，费时而于事无补.因此，抓住端点探索或检验不等式的解，是一条实用、有效的解决问题的思路.

　　2.诱导猜想，发现思路

　　当我们证明不等式M≥N(或M>N、M≤N、M

　　例4　设a、b、c为正数且满足abc=1，试证：1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥3/2.(第36届IMO第二题)

　　分析：容易猜想到a=b=c=1时，原不等式的等号成立，这时1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”向“积”的不等式变换，故想到给原不等式左边的每一项配上一个因式，这个因式的值当a=b=c=1时等于1/2，且能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化.

　　1/a3(b+c)+1/b3(c+a)+1/c3(a+b)≥1/a+1/b+1/c-(1/4)[(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab]=(1/2)(1/a+1/b+1/c)≥(3/2) =3/2，从而原不等式获证.

　　这道题看似不难，当年却使参赛的412名选手中有300人得0分.上述凑等因子的思路源于由等号的成立条件而产生的猜想，使思路变得较为自然，所用的知识是一般高中生所熟知的.再举二例以说明这种方法有较大的适用范围.

　　例5　设a，b，c，d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数，求证：a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c3/(a+b+d)+d3/(a+b+c)≥1/3.(第31届IMO备选题)

　　分析：猜想当a=b=c=d=2时M取得最大值，这时M中的4个项都等于3.要求M的最大值，需将M向“≤”的方向进行不等变换，由此可得3 ≤(3+4a+1)/2=2a+2，3 ≤2b+2，3 ≤2c+2，3 ≤2d+2.于是3M≤2(a+b+c+d)+8=24，∴M≤8.当且仅当a=b=c=d时等号成立，所以M的最大值为8.

　　当然，例6利用平方平均数不小于算术平均数是易于求解的，但需要高中数学教材外的知识.利用较少的知识解决较多的问题，是数学自身的追求，而且从教学上考虑，可以更好地培养学生的数学能力.先有猜想，后有设计，再有证法，也是数学地思考问题的基本特征.

　　3.引发矛盾，启迪探索

　　在利用基本不等式求最大值或最小值时，都必须考虑等号能否取得，这不仅是解题的规范要求，而且往往对问题的解决提供有益的启示.特别当解题的过程似乎顺理成章，但等号成立的条件却发生矛盾或并不一定成立.这一新的问题情景将启迪我们对问题的进一步探索.

　　例7　设a，b∈R+，2a+b=1，则2 -4a2-b2有().

　　A.最大值1/4　B.最小值1/4

　　分析：由4a2+b2≥4ab，得原式≤2 -4ab=-4( )2+2 =-4( -1/4)2+1/4≤1/4.若不对不等变换中等号成立的条件进行研究，似已完成解题任务，而且觉得解题过程颇为自然，但若研究一下等号成立的条件，则出现了矛盾：要使4a2+b2≥4ab中的等号成立，则应有2a=b=1/2，这时 = /4≠1/4，第二个“≤”中的等号不能成立.这一矛盾使我们感觉到解题过程的错误，促使我们另辟解题途径.事实上，原式=2 -(2a+b)2+4ab=4ab+2 -1，而由1=2a+b≥2 得0< ≤ /4，ab≤1/8，∴原式≤ /2+1/2-1=( -1)/2，故选C.

　　等号不一定成立而启迪我们对问题进一步探索的典型例子是1997年全国高考(理科)第22题：

　　例8　甲、乙两地相距S千米(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时(km/h).已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.

　　Ⅰ.把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域;

　　Ⅱ.为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶?

　　分析：y=aSv+bSv，v∈(0，c]，由y≥2S 当且仅当aS/v=bSv，即当v= 时等号成立得，当v= 时y有最小值.这是本题的正确答案吗?那就得考虑v= 是否一定成立.当 ≤c时可以，但 是有可能大于c的.这就引发了我们进行分类讨论的动机，同时也获得分类的标准.

　　综上所述，“等”是不等式问题中一道特殊的风景，从“等”中寻找问题解决的思路，本质上是特殊化思想在解题中的应用.从教学上看，引导学生注视不等式问题中的“等”，是教会学生发现问题、提出问题，从而分析问题、解决问题的契机.

　　自然科学职称论文投稿：《电视技术》1977年创刊，由中国电子科技集团公司第三研究所主办，是国内唯一一本全面介绍有线电视、地面电视、卫星电视和应用电视等整个电视领域技术发展的中央级优秀科技期刊。

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文章名称： 探究“等”对“不等”及其启示职称论文发表

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