“特征信息”的捕捉与解题的最优化

　　丁保荣在文〔1〕中，提出了一个十分重要的问题：通过捕捉题设(或结论)中的“特征信息”，优化解题思路.罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述，尤其是在解题分析中，非常重视解题速度、解题的最优化问题.〔2〕〔3〕

　　文〔1〕的例1、例2的“特征信息”，其实都可以联系到一个重要不等式：

　　定理　若a，b∈R，则(a+b)2≥4ab.

　　文〔1〕的例1尽管给出了三种解题思路，但是却有美中不足：尚未揭示出其最优解题思路;例2虽巧妙地构造出二次方程，但仍然缺乏最优化思考.

　　本文旨在展示平凡的定理(a+b)2≥4ab在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征.

　　首先，通过“等导不等”来证明这个定理：

　　(a+b)2=4ab+(a-b)2≥4ab，

　　当且仅当a=b时，等号成立.

　　下面列举一系列数学问题，其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理(a+b)2≥4ab.限于篇幅，解题时不作一一分析，只展现定理的最优化解题思路.

　　例1　已知实数a，b，c满足等式a=6-b，c2=ab-9，求证：a=b.　　(文〔1〕例1)

　　证明：依定理(a+b)2≥4ab，即62≥4(c2+9)，得c=0，从而a=6-b，ab-9=0，解得a=b=3，故证毕.

　　例2　若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，则x，y，z成等差数列.　(1979年全国高考题)

　　证明：由题设知(z-x)2=4(x-y)(y-z)，而依本文定理，则有(z-x)2=(x-z)2=〔(x-y)+(y-z)〕2≥4(x-y)(y-z)，可见x-y=y-z，从而x，y，z成等差数列.

　　例3　方程组x+y=2，的实数解的组数是(　　).

　　xy-z2=1

　　A.1　　B.2　　C.3　　D.无穷多　(1987年上海市初中数学竞赛试题)

　　解：依定理知，(x+y)2≥4xy，则22≥4(z2+1)，得z=0，原方程组化为

　　x+y=2，显然只有一解x=y=1，故选A.

　　xy=1，

　　例4　已知a，b，c都是实数，且a+b+c=0，abc=1，求证：a，b，c中必有一个大于3/2.　　(1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题)

　　证明：由题知，a，b，c中必有一个是正数，不妨设c为正数.依定理(a+b)2≥4ab，得(-c)2≥4·(1/c)，或c3≥4，于是c≥>=3/2，故得证.

　　注意：此处还有意外收获，原题结论还可改进为：求证：a，b，c中必有一个不小于.

　　例5　a，b，c，d都是小于1的正数，求证：在4a(1-b)，4b(1-c)，4c(1-d)，4d(1-a)中，不可能都大于1.　　(1962年美国数学竞赛试题)

　　证明：巧妙地逆用定理，注意4a(1-b)·4b(1-c)·4c(1-d)·4d(1-a)=4a(1-a)·4b(1-b)·4c(1-c)·4d(1-d)≤〔a+(1-a)〕2·〔b+(1-b)〕2·〔c+(1-c)〕2·〔d+(1-d)〕2=12·12·12·12=1，由此可见，4a(1-b)，4b(1-c)，4c(1-d)，4d(1-a)中不可能都大于1.

　　例6　已知x>0，y>0，且x+y=4，S=(6-x)·(5-y)，求S的最大值.

　　解：依定理，知4S=4(6-x)(5-y)≤〔(6-x)+(5-y)〕2=〔11-(x+y)〕2=(11-4)2=49，S≤49/4，当x=21/2，y=11/2时，Smax=49/4.

　　当然，定理最主要还是应用于巧证不等式方面.

　　例7　已知y-2x=z，求证：y2≥4xz.　　(文〔1〕例2)

　　证明：由题设，知y=2x+z.依定理，知(y)2≥4·2x·z，或2y2≥8xz，即y2≥4xz，证毕.

　　纵观以上各例，依定理解题，显得规律有序，思路清晰，方法简便，且显然优于原来的方法.

　　例8　正数x，y，z，a，b，c满足条件a+x=b+y=c+z=k.求证：ax+by+cz

　　证明：传统证法大半是构造正三角形或正方形，利用面积关系证之.今依定理，即刻知　　4ax+4by+4cz≤(a+x)2+(b+y)2+(c+z)2=k2+k2+k2=3k2，

　　于是，ax+by+cz≤(3/4)k2

　　可见，依定理还有意外收获，得到原式的一个加强式：ax+by+cz≤(3/4)k2.而这一加强难在传统证法中体现出来.

　　例9　已知a>1，b>1，c>1，求证：

　　(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥12.

　　证明：依定题，知a2=〔(a-1)+1〕2≥4(a-1)·1=4(a-1).同理b2≥4(b-1)，c2≥4(c-1)，于是，(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥

　　4(((a-1)/(b-1))+((b-1)/(c-1))+((c-1)/(a-1)))≥4·3=12，证毕.

　　例10　设x，y为非负数，且满足x+y=1，求证：

　　1+≤+≤2.

　　证明：考虑(+)2=2(x+y)+2+2=4+2，或+=，依题知及定理，有0≤4xy≤(x+y)2=1，故≤+≤.

　　于是1+≤+≤2，证毕.

　　定理(a+b)2≥4ab的优化解题功效远不止这些，只要留心些，读者必定还会有所发现和创新.令人振奋的是，从基本不等式a+b≥2，平方即可得(a+b)2≥4ab;但令人遗憾的是，a+b≥2的应用，已是老生常谈，而(a+b)2≥4ab却少见报道.笔者试图通过本文，借以引为重视!

　　参考文献

　　1　丁保荣.信息与解题.中学数学教学参考，2001，5

　　2　罗增儒.看透本质，优化过程.中学数学教学参考，2001，6

　　3　罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，1997

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文章名称： “特征信息”的捕捉与解题的最优化

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