探索解析几何问题中减少计算量的策略

　　摘要：平面解析几何是中学数学中很有特色的内容，它的基本思想是用代数的方法解决几何问题，我们很多人对这门课程的基本思想认识存在误区，简单理解成计算问题，学生不会解题，是因为运算的素养不够。本文从研究减少计算量的策略入手，寻求在不同题设背景下方法的选择，以达成解决问题的目标，从而提升数学运算素养。

　　关键词：平面解析几何;策略;减少计算量;运算素养

　　“图形”和“数”是数学基本学习和研究的对象，贯穿我们整个学习过程，新教材把“几何与代数"作为主线贯穿于整个高中课程，其中“几何”的代表“解析几何”，是用代数方法研究几何图形性质的一门课程，是建立在坐标系的基础上，“计算量大”是显著的特点，因此学生只懂得“怎么算”还不够，还要通过数形结合选择恰当方法，制定合适的解题策略，以减少计算量，不但算得好，还要算得快，以理解运算对象，概括通性通法，从中感悟运算中蕴含的思想方法，从而提升运算素养。

　　一、深挖图形的几何性质

　　几何图形是平面解析几何研究的对象，而研究几何对象的几何特征是用代数方法解决问题之前要完成的工作，如掌握好基本几何图形(三角形、四边形、圆等)的几何性质，以及基本几何关系(平行、垂直、相交、相切等)，正是通过研究几何对象，使得比较简洁的“形”的性质去转化“数”的运算和推理，最后又让

　　“形”的问题完美解决。

　　例如，已知直线l:y=x+a和圆C:x2+y+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线1上，且满足IPAI.PBI=2，当a变化时，求点P的轨迹方程。

　　利用圆的几何性质解法分析：圆C:x2 +y2+ 2y=0的圆心C(0，-1)，-1，PT为圆的切线，PA为圆的割线，由圆的切割线 定 理 ，如 图 所 示 ，有 |PT|2= |PA| ·|PB|=2>1，故点 P 在圆 C 外，∴|PC|=|PT|2 + |CT|2= 3，即点P的轨迹是以(0，-1)为圆心， 3 为半径的圆。 点 P 的 轨 迹 方 程 为 x2 + ( y + 1 )2 = 3。

　　本题的常规解法是由PA1-1PB1-2联想到直线的参数方程中1的几何意义，虽然也很自然，运算量还是比较大的，如果不用直线的参数方程的方法，纯代数方法通过设点表距离，更是“眼到手不到”。如果能够利用平面几何知识中有关圆的切割线定理，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍。在平常求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，如切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，计算量将会大大减少。

　　二、巧用平面向量

　　进入高中我们学习一种全新的运算对象-向量，这是个既有大小又有方向的量，解析几何中很多问题是以向量作为载体，把图形的几何性质隐含在里面，也有直接求向量的问题。向量不仅当作运算对象，还要当作几何的研究对象，在数量积的定义应用中体现很充分。

　　例如，过圆C:x2 +y2=R内一定点M(xo.'o)作一动直线交圆C于两点P，R，过坐标原点0作直线ON LPM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，求oiM.00的值。

　　利用向量数量积的几何意义解法分析：由题意分析可知 PQ 为切线，则由切线性质可知，如图连接 OP，则 OP⊥PQ。但是 OQ⊥PR 于 N，根据直角三角形的射影性质有：

　　本题常规解法是求数量积要么通过求模长和夹角，但其中可是变量，夹角也是变量，就不好求，如果通过点的坐标求数量积，点Q也不好表示，因此数量积也不好表示。而本题是与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识，题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，可以通过相似得到射影定理，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段即在的投影为1ON1三、灵活运用“设而不求解析几何中一种最常用的策略是“设而不求”，其方法有观察法、点差法，参数法、韦达定理等。指在解题时根据需要增设一些未知量以利于思考和解题，但在解题过程中并不要求出这些未知量，而是巧妙地“过河拆桥”。这种策略往往能避免盲目推演而造成无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。

　　例如，过点A(2，3)的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B，C两点，抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2，且 l1,l2 交于点P，求点P的轨迹。

　　而本题利用观察法求直线方程，其思路完全颠覆常规直线的做法，不是常规方法求直线方程，它对学生的观察能力、直觉思维有更大的要求，但是却能让学生更加专注于问题分析，而不是大量计算。

　　当然，求解平面解析问题的策略远不止以上几种，如何通过分析，寻求最优化的方法，这是需要在平常的解题中不断总结和应用，当然求解问题时不可避免出现计算量大的问题，如何做到运算的准确、合理、简洁，是需要方法和技巧，运算中的逻辑思维，比如消元、整体代换、构造等等，只有思维能力得到提升，技巧才能得心应手，才能真正提升运算素养。

　　参考文献

　　[1]史宁中，王尚志普通高中数学课程标准(2017年版)[s].北京：高等教育出版社，2018.

　　[2]张鹤·数学教学的逻辑：基于数学本质的分析[M].北京：首都师范大学出版社，2016.

期刊VIP网，您身边的高端学术顾问

文章名称： 探索解析几何问题中减少计算量的策略

文章地址： http://www.qikanvip.com/mianfeiwx/58442.html