近年来，分形几何理论对于研究者探索自然界中不稳定、不规则的未知现象逐渐成为重要的突破途径，其应用的范围也由复杂的理论研究渗透到各个不同学科领域，如物理、化学、生物与医学、地质与地理学、计算机科学、材料科学甚至经济学、人文社科学。而作为路面材料工程科学研究者们已经开始关注分形几何理论在揭示材料常见的粗糙、凹凸、破碎等无序系统的本质的优越性。传统的欧式几何无法准确的阐述固体材料复杂无序事物的本质，而目前分形几何理论已经对沥青混合料中的微观结构分析、集料颗粒表面均匀性分析、集料级配曲线分析以及体积特性分析等方面发挥了很大作用。
1分形理论
1.1定义
分形作为非线性科学的一个分支，没有严格的定义，但它具有非线性领域的主要特征，即随机性和复杂性。客观的某种规律支撑起复杂的现象，分形理论作为一种科学而前沿的技术手段，使我们从另一个角度探究出隐藏在复杂现象背后的某种规律，概念新颖，深入透彻的揭示局部与整体之间内在的关系。
1.2分形理论的两大重要原则
（1）自相似原则
通常指不同时间或空间中某些结构或者过程都是相似的，也可以表征某些系统或者过程的局部与整体性质的相似，甚至完全相同。
[1]自相似分形通常分为有规分形和无规分形，其中有规分形要求局部与整体之间相似性非常严格，类似无穷迭代而成的结构形式，是一种标准的自相似；而无规分形是满足近似相似或统计意义上的自相似，自然界中无规分形是普遍存在的。因此，相对于有规分形，无规分形只是一种近似相似或者在统计范畴内相似。
（2）无标度原则
无标度原则又称伸缩对称性，指对象的形状不随着观察尺度的变化而变化，也就是说无论图形分形到何种程度，表现出来的都是相同的复杂程度，使得从任何尺度都可以观察出图形的细节。同时，无标度区是分形尺度关系成立的范围，所以超出这个无标度区就不再是分形结构。
1.3分形维数
整数维是用来描述欧式几何中的对象，分形维数则是描述分形的重要指标。分形维数与欧使几何的整数维之间有一定关系，并不是独立的，对于传统整数维尺度测量无果的对象，需要采用非整数维的尺度才能准确描述其复杂程度的分形维数。研究表明，分形维数可以用于判断两个分形是否一致的标准，对准确描述图形有重要的价值。根据不同的研究内容，分形维数有多种形式，例如相似维数、容量维数、拓扑位数、计盒维数等。
2分形理论的应用
2.1混凝土研究中的分形理论
唐明，李晓
[2]等人通过对混凝土材料韧性、断裂韧性、强度等宏观力学行为的研究，从混凝土集料的分形特征、水泥及掺合料的分体特征和混凝土孔隙分形特征这三个角度描述了混凝土微观世界里的细观结构，及其与宏观层面上的力学行为的统一性。在这一领域，分形特征的测试与评价是研究的重要方向，合理的测试评价方法是决定分形理论解决问题的关键。许多研究已经可以证明，分形理论在显微结构分形特征描述和影响宏观分形特征的效果是明显的，这些宏观分形特征包括：混凝土材料的断裂特征、冻害损伤特征、水泥及掺合物的粉体特征、硬化混凝土孔隙特征、混凝土碱集料反映裂纹以及早期开裂等。虽然在混凝土领域，分形理论应用的较为广泛，但是依然在混凝土孔结构、混凝土渗透特征方面研究甚少，以及分形特征与混凝土耐久性的联系较为薄弱，甚至对新拌混凝土分形特征的测试更加缺乏。
2.2沥青混合料中集料的分形理论
沥青混合料中，集料通常选用机制碎石，可以认为碎石的表面特征是一种分形，而且影响集料性质的参数有很多，其中集料的关键筛孔通过率、体积参数以及空隙率也都是分形的不同种类，从而表现出来的集料宏观力学特性的不规则性、不确定性以及模糊性非常明显。
杨群
[3]等人通过大量的试验分析定量的揭示出集料分形维数与集料级配碎石关键筛孔通过率的良好相关性，从而可以控制以及评价沥青混合料中级配的离析情况，因为混合料离析会导致粗、细颗粒的分离，从而影响混合料的抗车辙能力以及抗水损害性能，对施工工艺以及技术评价有很好的指导意义。S.Diamond
[4]、徐定华
[5]教授分别对断面集料的分形特征和集料颗粒的分形特征进行了评价。除此之外还有王谦源
[65]对砂的粒级以及碎石集料的分形特征研究颇深。
研究表明，分维数适用于定量描述沥青混合料的复杂外观，因此，本文就集料颗粒分布函数的分形以及集料质量分布函数的分形进行讨论。
（1）集料颗粒分布函数的分形
在提出集料粒径分布函数前，需要先定义集料颗粒的粒径为r，粒径小于等于r的颗粒数量为N（r），N
0为集料颗粒总数。
F（r）= N（r）/N
0
根据分形几何理论中分形对象的特点，其分维计算公式为：
N（r） = A
0（r / r
max）
-D
公式中，A0为常数；D为颗粒粒径分形维数；rmax为最大颗粒粒径。
因此，通过上述两式，并考虑边界条件F（rmin）=1和F（rmax）=0，得到集料粒径分布函数表达式为：
F（r）= N（r）/N
0=
（2）集料质量分布函数的分形
定义集料质量分布函数如下公式：
P（r）= M（r）/M
0
式中， M（r）为集料粒径小于等于r的总质量，M0为集料总质量。
根据质量与体积的关系以及体积量纲的要求，可推出以下微分表达式：
dN（r） = N
0dP（r）=N
o dr
分布函数在P（rmin）=1以及P（rmax）=0的边界条件下，考虑到rmin可以忽略，因此得到简化公式:
P（r）=
以上的集料颗粒分布函数是为了更深入的针对集料进行级配设计，其中分形级配理论与现有主要级配设计方法（泰波级配理论、K法、粒子干涉理论、i法）有很强的相关性，从这一角度可以体现出分形是集料的本质。它其实是从另一种角度反映出集料的外观特性、级配类型、粒径分布以及体积参数的分形本质。因此无论是连续级配还是间断级配都有着特有的分形特征，即有特有的分形维数，从而通过分形级配模型反算各筛孔的通过率，指导沥青混合料配合比设计具有重要意义。
2.3沥青混合料配合比设计中的分形理论
通过选取5种具有代表性的级配曲线以及级配范围对应的分形维数的计算，如下表1所示，1—5号级配曲线的走势各不相同，形成不同的结构类型，而且分形维数也有所差异。根据级配曲线以及分形维数的分析，可以指出1号级配易形成骨架—空隙结构；2、3号级配偏向于悬浮—密实结构；4号级配较1号级配形成的混合料更加紧密，但仍属于骨架—空隙结构；只有5号级配最容易形成嵌挤紧凑的骨架—密实结构。
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路面材料中分形理论的应用
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