来源:期刊VIP网所属分类:综合论文发布时间:2021-05-25浏览:次
摘 要:线性方程组及其求解是线性代数及高等数学课程中的核心内容,在数学相关领域中有应用广泛。本文介绍了线性方程组在几何学、高次方程理论、化学等方面的应用,以期为线性方程组的求解及应用提供一定的指导作用。
关键词:线性方程组;几何学;高次方程;化学
1 绪论
线性代数的核心内容是线性方程组的求解,这是在寻求线性方程组解的存在定理与求解方法的过程中产生的[1]。行列式理论和矩阵理论形成了线性代数的基本理论,这些理论知识本是代数问题,可是,若将该代数问题与几何问题联系起来,通过考虑常数项與系数的相互关系,从而建立方程组,就可在此基础上得到方程组的矩阵求解及行列式求解[23]。这些理论知识为借用线性方程组解决实际问题提供了方法,并奠定了基础。比如,将线性方程组理论应用在解析几何中,可内在沟通线性代数与几何之间的相互联系,也可实现代数与几何之间的相互渗透,还可使得对许多几何问题的刻画更为简洁、明了。
2 线性方程组的应用
线性方程组的应用有很多方面,如在数学理论中,特别是几何、代数等方面应用较多。除此之外,还可以用方程组来研究初等数学中的一些问题,从而可以避免烦琐的分析与求解[4]。线性方程组在生活中也有广泛应用,比如在计算机、物理、经济、化学及航空等领域。此外,线性方程组也被用于电路、力学、数字处理等课程[56]。为了能更好地应用线性方程组的理论方法解决实际问题,需要在求解过程中将涉及的每个量联系起来,通过分析条件及所求的关系,结合实际问题,通过恰当的问题转化及变换,从而达到通过最有效、最快捷的方法来解决实际问题的目的。
2.1 线性方程组应用在几何方面
设上述齐次线性方程组的一组非零解为(A1,D1,E1,F1),由条件知,四点的任意三点均不共线,可设A1≠0(不然,会出现三点共线),从而得知这四个点都在圆A1(a2+b2)+D1a+E1b+F1=0(A1≠0)上,由此得证。
2.2 线性方程组应用在高次方程理论中
定理2[8]设四个实数a,b,c,d各不相等,证明四元方程:
不妨设上面方程组中的四个方程有公共的实数解x0,则关于a,b,c,d的齐次线性方程组有非零解,从而上面方程组的系数行列式等于零,即x30x20x01
将x0=-1代入原方程组中,可得b=c,这与已知条件矛盾。
2.3 线性方程组应用在化学方面
化学中的线性方程组也有广泛应用,比如用于化学方程式的配平问题,按照质量守恒定律,得到对应的方程,再经过联立得到相对应方程组并求解,最后得出结果,便可得到相应的化学方程组的配平系数。
例1[9]假设在高温下,一氧化碳可使得四氧化三铁还原,使其生成二氧化碳与单质铁,试配平如下的化学方程式:
CO+Fe3O4→Fe+CO2
解 设反应物与生成物的量依次为x1,x2,x3,x4,通过质量守恒定律知各原子数在反应前后保持不变,如,通过铁原子的守恒得x3=3x2;通过碳原子的守恒得x1=x4;因此,由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;
联立上面三等式并移项得x3-3x2=0,
x1-x4=0,
x1+4x2-2x4=0。
易见上面方程组未知量的个数大于方程的个数,因此,上述线性方程组有非零解。
由于化学方程组的每个系数必是正数,即每一个分量的解都必须是正数解;通过矩阵的初等变换得上述线性方程组的增广矩阵:
2.4 经济平衡中线性方程组的应用
例2[10]某个经济体系中有三个行业:五金、能源、机械,而且各行业的产出在每个行业中的分配比例见表1,其中每列的数表示相应行业占该行业总产出的比例。如第一列,五金行业总产出分配比例是:五金行业占20%;能源行业占30%;机械行业占50%。分别用p1,p2,p3表示五金、能源、机械在每年总产出的各价格,为使三个行业的投入与产出都相等,试求各行业的平衡价格。
解 由上表可得列值代表的是每个行业产出的具体分配方式,行值代表的是每个行业所需要的投入。
设此三行业的总产出价格依次为p1,p2,p3,则五金行业的总支出应该为0.3p1+0.1p2+0.4p3。
为使五金行业收入与支出相等,则应满足:
p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3
同理,对上表中的第1行、第3行的数据也进行相同的处理,把它们与上式联立起来,就得到一个齐次线性方程组:
p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3,
p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3,
p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。
解得上述方程组的通解为p1
p2
p3=p31.417
0.917
1.000,即经济系统中的平衡价格向量。
令p3=2.000亿元,可得p1=2.834亿元,p2=1.834亿元,即,若机械行业产出的价格是2.000亿元,则五金行业的产出价格是2.834亿元,而能源行业产出的价格为1.834亿元,这样,每个行业的收入就等于该行业的支出了。
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文章名称: 线性方程组的应用研究
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