六参数粘弹性阻尼耗能减震系统非平稳地震响应分析的精细积分法

　　摘 要：针对六参数粘弹性耗能减震系统，结合虚拟激励法，给出了非平稳地震响应分析的精细分析法.对于设置的支撑六参数粘弹性阻尼耗能系统的运动方程，首先，采用高效的虚拟激励法，将非平稳随机地震激励化为确定性荷载;然后，利用扩阶法，得到系统的状态方程;最后，给出了响应的精细积分解析解.并通过算例验证本文方法的精确性与实用性，为该方法推广应用于复杂大型结构的耗能减震工程提供新途径.

　　关键词：六参数粘弹性;精细积分法;虚拟激励法;耗能减震系統;非平稳地震响应

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　　0 引言

　　粘弹性阻尼装置控制结构振动是一种有效且广泛使用的被动控制方法，其模型主要有Maxwell模型、Kelvin模型、六参数模型等[1-3].其中，六参数模型计算参数便于实验数据拟合，具有通用性和工程实用性的特点，是一种实用的粘弹性阻尼器减震模型[4-6].为此，对该模型的耗能减震系统响应进行深入分析，具有重要的理论价值和实际意义.

　　在工程中，应用较多的是Priestley[7]提出的受演变随机激励非平稳随机响应分析.针对此响应分析，传统分析方法有CQC计算格式[8]和SRSS近似格式[9].但因这两种方法计算公式复杂，计算过程繁琐且成本巨大，计算效率难以在工程上广泛应用.林家浩等[10]提出的虚拟激励法，将随机激励化为确定性荷载，简化计算过程，节省了计算时间且结果依然相同，改善了传统方法的限制.虚拟激励法的提出解决了很多工程中重要而困难的问题，如大跨桥梁结构、风工程、车辆工程以及国防工程等领域，在国际上有较高的影响力[11].

　　在计算时程积分时，一般用Newmark，Wilson-θ等方法求解，但是这两种方法都存在耗时较长，精度有限等问题.钟万勰[12]提出的精细积分法，在积分步长不受结构自振特性制约的情况下，总能算出计算机精度范围内的结构响应.该方法目前已被广泛地应用于热传导、结构动力响应、结构优化设计、偏微分方程的求解等众多领域[13-14];精细积分方法与虚拟激励法结合，已经成功解决了无阻尼结构的非平稳随机地震响应分析[15-16]，但至今尚未应用于粘弹性阻尼耗能减震结构的非平稳响应分析和阻尼系统抗震动力可靠度分析.

　　对于耗能减震系统的运动方程，本文利用虚拟激励法，将非平稳随机地震激励化为确定性荷载，利用扩阶法得出系统状态方程，并算出了响应的精细积分解析解.最终得出一套关于非平稳地震激励下，六参数阻尼耗能减震系统简明直观的精细算法.

　　1 阻尼器本构关系及系统运动方程

　　六参数粘弹性阻尼器模型如图1所示，该粘弹性阻尼器本构关系表达式为[4]：

　　[PQ(t)=k0xQ+c0xQ+P1(t) +P2(t) ] (1)

　　[P1+μ1P1=k1xQ] (2)

　　[P2+μ2P2=k2xQ] (3)

　　式中，[k0]为阻尼器的平衡刚度;[Pi(i=1，2)]表示六参数粘弹性阻尼器中两支Maxwell阻尼单元的单元阻尼力;[μi=ki/ci(i=1， 2)]，[xQ]为阻尼器位移.

　　工程实际中，一般把支撑和阻尼器串联，计算简图如图2所示.[PQ]、[Pb]和[P]分别表示阻尼器受力、支撑受力和阻尼系统受力，[xb]和[x]分别为支撑和结构的位移，关系式为：

　　[P=PQ=Pb=kxb] (4)

　　[xb+xQ=x] (5)

　　结构在地震作用[f(t)]下的及运动方程为：

　　[mx+cx+kx+P=f(t)] (6)

　　2 六参数粘弹性阻尼减震系统响应分析

　　2.1 非平穩地震响应的虚拟激励法

　　实际地震中，地震发生的随机振动过程，一般视为非平稳随机过程，非平稳随机过程不是各态历经的，其各种统计信息随时间变化而变化.地震动过程通常包含两个非平稳过程，一种是强度非平稳，另一种是频率非平稳，为考虑这两种情况的共同影响，通常采用Priestley[7]建议的演变功率谱：

　　[xg(t)=-∞+∞a(ω，t)eiωtdα(ω)=a(ω，t)xf(t)] (7)

　　其中，[a(ω，t)]是满足[a(ω，t)=a*(-ω，t)]的确定性非均匀调制函数，*表示共轭，[xg]地震动地面加速度，[xf(t)]为零均值平稳随机过程，[i=-1].[α(ω)]满足下列过程：

　　[xf(t)=+∞-∞eiωtdα(ω)] (8)

　　[Edα*(ω1)dα(ω2)=δ(ω1-ω2)Sxf(ω1)dω1dω2] (9)

　　[Sxf](ω)为[xf]的功率谱密度函数.常用的有Kanai-Tajimi激励谱、Clough-Penizien谱、胡聿贤谱[10]等.

　　根据林家浩的虚拟激励法理论，如果构造非平稳虚拟地震激励为：

　　[xg(ω， t)=Sxf(ω)a(ω，t)eiωt] (10)

　　设在[xf(ω， t)]产生的响应表示为[v(ω， t)]，那么响应的自谱密度即可表示为：

　　[Svv(ω， t)=v*(ω， t)v(ω， t)=I*(ω， t)I(ω， t)Sxf(ω)] (11)

　　式中，[I(ω， t)=0th(t-τ)a(ω， τ)eiωτdτ].

　　把非平稳虚拟地震激励(10) 代入振动方程(6)中得：

　　[mx+cx+kx+P=-mSxf(ω)a(ω， t)eiωt] (12)

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文章名称： 六参数粘弹性阻尼耗能减震系统非平稳地震响应分析的精细积分法

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