基于谱矩的单自由度复阻尼结构的等效阻尼分析

　　摘 要：復阻尼模型与实验结果吻合较好，但结构动力分析较为复杂.本文针对单自由度复阻尼耗能结构基于谱矩相等准则，即令复阻尼原始系统和等效系统的的零阶和二阶谱矩相等，得到单自由度复阻尼耗能结构的等效频率和等效阻尼.将等效系统的计算结果与原始系统计算得到的精确解以及由经典的模态应变能法计算得到的结果进行比较，等效系统具有很高的精度.

　　关键词：复阻尼结构;谱矩;等效频率;等效阻尼;单自由度

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　　0 引言

　　复阻尼模型和粘滞阻尼模型是常见的阻尼模型[1-3]，在实际工程中的应用也较为广泛.对于这些阻尼耗能结构，目前在世界范围内进行抗震设防设计基本是基于反应谱的方法进行设计[4-5].地震动特性和阻尼器结构系统的动力特性两者间的关系是抗震设计中的关键问题，这两者之间关系在反应谱中都考虑进去了，因此要用合理的方法确定结构的等效阻尼.

　　相比于粘滞阻尼，复阻尼模型可以比较好的描述阻尼特性[6-8]，与实验结果相对比，复阻尼模型也比较相符[9].振幅改变、应力等因素对实际应用的材料都有影响，并且材料的能量耗散也与之相关，相比于其他阻尼模型，复阻尼模型考虑到了这些的问题.因此，研究复阻尼耗能结构的地震分析以及其等效阻尼极其具有工程意义.

　　在对单自由度复阻尼耗能结构动力特性分析方面，已经有对其在频域和时域的研究成果[10-13]，通过对比单自由度复阻尼结构时域精确解法与频域解法之间的情况，分析了在求解过程中一些不恰当的做法，以及在进行时域计算时实部与虚部之间的影响.但大都是采用如精细积分法、Newmark-[β]、平均加速度等方法，尚未解决有关等效阻尼的算法，因反应谱法中需要涉及，本文提供了一种单自由度复阻尼结构的等效阻尼算法.

　　阻尼耗能结构的解析法分为扩阶法和非扩阶法.对于Maxwell、广义Maxwell模型[14-15]，以及分数导数模型[16-17]，目前一般采用扩阶法，此法可以比较快速获得扩阶的近似模型从而求得结构系统的解析解.但是在应用扩阶法时，常常因其变量个数较多，导致在计算过程中效率降低.经典的模态应变能法[18-19]和强行振型解耦法[20]属于非扩阶法，这两种方法在计算过程中采用了比较多的假设，其适用性和精确性有待提高.

　　在工程中大量运用的阻尼系统，其动力特性都是由其频率响应函数决定[21].在此基础上，本文重新构造了复阻尼耗能结构的基本分析方程，根据其频率响应函数，基于谱矩相等的等效准则，即原始系统和等效系统的频响函数的各阶谱矩均相等，则两个系统完全等效;如果两个系统有限阶谱矩也相等，则他们近似等效.因此令复阻尼原始系统和等效系统的零阶和二阶谱矩相等，求得单自由度复阻尼耗能结构的近似解析式以及等效阻尼和等效频率.谱矩相等的准则在求解Maxwell阻尼器结构也有应用[22]，用谱矩法求解的优势在于可以直接通过积分的方法求得其各阶谱矩，为在分析其他各种阻尼耗能结构提供一种新思路.

　　1 复阻尼耗能结构的谱矩分析

　　复阻尼单自由度系统在地震激励下，其运动方程为[10]：

　　[mx+k(1+iη)x=-mxg] (1)

　　式中，m——质量;k——刚度;i——虚数单位，i=[-1];[η]——耗损因子，且0<[η]<1;[x]——质点相对于地面位移;[xg]——地震动地面加速度.

　　方程(1)可以改写为：

　　[x+ω20(1+iη)x=-xg] (2)

　　式中，

　　[ω20=km] (3)

　　方程(2)的频率响应函数为：

　　[H(iω)=-1(iω)2+ω20(1+iη)] (4)

　　由随机振动结构中的定义，可以得到频率响应函数[H(iω)]的零阶谱矩[I0]和二阶谱矩[I2]表达式分别为：

　　[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω] (5)

　　[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω] (6)

　　式(5)、式(6)中，[·]表示求模.

　　将方程(4)代入方程(5)可求得：

　　[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω=π2ω30η1+1+η21+η2] (7)

　　同理，将方程(4)代入方程(6)可求得：

　　[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω=π2ω0η1+η2+1] (8)

　　2 復阻尼耗能结构的等效系统

　　2.1 等效系统的谱矩分析

　　假设结构系统(2)的等效系统为：

　　[x+2ξeωex+ω2ex=-xg] (9)

　　式中，[ωe、ξe]分别为结构系统待定的等效频率和等效阻尼比(式(9)通常的阻尼结构都可以采用该类等效).

　　方程(9)的等效系统的位移频率响应函数[Hxe(iω)]为：

　　[Hxe(iω)=-1ω2e+2ξeωe(iω)+(iω)2] (10)

　　由随机振动谱矩的耗能结构的位移方程，可以求得等效系统的频率响应函数[Hxe(iω)]的零阶谱矩[I0e]和二阶谱矩[I2e]解析式分别为：

　　[I0e=-∞∞ω0Hxe(iω)2dω=π2ξeω3e] (11)

　　[I2e=-∞∞ω2Hxe(iω)2dω=π2ξeωe] (12)

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文章名称： 基于谱矩的单自由度复阻尼结构的等效阻尼分析

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