动网格生成技术及非定常计算方法进展综述事中级职称论文

　　张来平山f 邓小刚 M 张涵信 2

　　1空气动力学国家重点实验室，绵阳 621∞0

　　2 中国空气动力研究与发展中心，绵阳 621仪)()

　　摘 要对应用于飞行器非定常运动的数值计算方法(包括动态网格技术和相应的数值离散格式)进行了综 述.根据网格拓扑结构的不同，重点论述了基于结构网格的非定常计算方法和基于非结构/混合阿格的非定常 计算方法，比较了各种方法的优缺点.在基于结构网格的非定常计算方法中，重点介绍了刚性运动网格技术、 超限插值动态网格技术、重叠动网格技术、滑移动网格技术等动态结构网格生成方法，同时介绍了惯性系和非惯性系下的控制方程，讨论了非定常时间离散方法、动网格计算的几何守恒律等问题.在基于非结构/混合同 格的非定常计算方法中，重点介绍了重叠非结构动网格技术、重构非结构动网格技术、变形非结构动网格技术以及变形/重构稿合动态混合网格技术等方法，以及相应的计算格式，包括非定常时间离散、几何守恒律计算 方法、可压缩和不可压缩非定常流动的计算方法、各种加速收敛技术等.在介绍国内外进展的同时，介绍了作 者在动态混合网格生成技术和相应的非定常方法方面的研究与应用工作.

　　关键词：中级职称论文,非定常运动,动态网格技术,非定常计算方法

　　1 引言

　　对速度、机动性与效率的追求，一直主导着军 事飞行器的发展.无论是未来的战略、战术导弹， 还是新一代的战斗机，都需要具备良好的机动性 和敏捷性，尤其要求在快速机动时，能够利用流动 特征对飞行器实施高效的主动控制.为了实现飞 行器的可控快速机动，首先必须弄清飞行器的动 态气动特性，以及与这些动态特性相对应的非定 常流动机理

　　从飞行器的运动方式和流动特征来看，非定 常流动问题可以分为以下 3 类: (1) 物体静止而 流动本身为非定常的流动问题，如大攻角飞行的 细长体背风区的分离流动等; (2) 单个物体作刚性 运动的非定常流动问题，如飞行器的俯仰、摇滚及 其藕合运动等 j (3) 多体作相对运动或变形运动的 非定常问题，如子母弹分离、飞机外挂物投放、机 翼的气动弹性振动、鱼类的摆动、昆虫和鸟类的扑 动等等.

　　收稿日期 :2∞9-9-4，修回日期:2010-4-23

　　解决以上非定常问题的有效途径之一是计算 流体力学 (CFD). 随着计算机技术的迅猛发展， CFD 己经成为一种有效的流动机理分析和气动设 计手段.但是，对于上述的非定常流动问题，高效 高精度的非定常计算方法仍然是当今 CFD 研究 的热点和难点.

　　为了有效地开展非定常计算方法的研究，本 文对当前国内外的非定常计算方法(包括网格技 术和相应的非定常计算格式)进行了综述.根据网 格拓扑结构(结构网格、非结构网格和混合网格) 的不同，将非定常计算方法分为两大类，即基于结 构网格的非定常计算方法和基于非结构/混合网 格的非定常计算方法.在评述过程中，同时介绍 了一些作者在非定常计算方法方面的研究及应用 工作.

　　2 非定常计算方法的分类

　　非定常计算方法可以按多种方式进行分类，

　　·国家自然科学基金 (108η023) 和国家重点基础研究发展计划 (2∞9CB72拥02) 资助项目

　　t E-mail: zha吨lp..c町dc@126.∞m

　　第 4 期 张米平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 425

　　例如按时间离散方法，可以分为 :显示 Runge-Kutta 方法、单时间步法、双时间步方法、隐式迭代法等 ; 再比如，按照选取的坐标系的不同，可以分为惯性 系下的非定常计算方法和非惯性系下的非定常计 算方法.本文以计算方法采用的网格技术为基础， 对非定常计算方法进行分类，因为基于不同的网 格技术，需要采用不同的数值计算方法.

　　众所周知，数值计算的第 1 步是生成合适的 计算网格，即用合适的计算网格离散流场.就目前 国内外的网格技术发展情况来看[习，网格生成技 术大致可以分为 3 类，即结构网格、非结构网格和 混合网格.混合网格综合了结构网格和非结构网 格的优势，代表了当前和未来网格技术发展的趋 势 (2) 就基于温合网格的计算方法而言，目前大多 将混合网格数据结构转化为非结构网格的形式进 行整体处理这样使得整个流场的计算方法统一， 便于程序设计和调试.因此，就非定常计算方法而 言，将其细分为两大类，即:

　　(1) 基于结构网格的非定常计算方法;

　　(2) 基于非结构/混合网格的非定常计算方法.

　　3 基于结构网格的非定常计算方法

　　3.1 适用于非定常计算的结构动网格生成技术 根据非定常运动方式的不同，可以采用不同

　　的结构网格.对于前述的第 1 类非定常问题，即物 体静止而流动本身为非定常的流动问题，静止的 刚性网格就可以满足要求当然，由于所面对的 外形越来越复杂，传统的统 一贴体结构网格(四­ fìed body-fìtted grids) 已无法生成合适的网格，为此 CFD 工作者发展了多块对接结构网格 (multiblock structured grids) [3，4J 、多块搭接结构网格(patched structured grids)[5，6] 和重叠结构网格技术 (overlap­ pingjchimera structured grids) [7，8) 等.

　　对于第 2 类非定常问题，仍然可以采用刚性 网格.根据坐标系选取方式的不同，可以采用惯性 系和非惯性系两种方法进行非定常计算.对于第 3 类非定常问题，涉及到物体的相对运动或变形，因 此必须在每个时间步更新网格，由此动网格生成 技术成为非定常计算的关键技术之一，而且它是 实现工程应用中最主要的"瓶颈"问题.目前，刚 性运动网格技术 [9，10) 、超限插值(transfìnite inter­ polation) 动网格生成技术 [ll 14J 、重叠结构动网格

　　技术 [15 18] 、滑移结构动网格技术[19，20J 是几种常 用的方法.

　　3.1.1 刚性运动网格技术 刚性运动网格技术的基本思想是令计算网格

　　随物体一起作刚体运动.这一方法的优点是:在整 个非定常运动过程中，计算网格无须重新生成，可 以根据运动方式直接给出，因此其计算量小，并可 保持初始网格的质量.但是，这种方法仅适用于单 个刚性物体的非定常运动，对于变形体或者多体 的相对运动等复杂问题，这种方法已经不再适用. 另一方面，由于网格随体运动，使远场边界的位移 和速度很大，导致运动远场边界的处理不易.因此 这种方法在简单外形的非定常运动数值模拟中采 用得较多 [9，lJO

　　3.1.2 超限插值动网格生成技术 超限插值动网格生成方法的基本思想是令外

　　边界保持静止，物面边界由物体运动规律或运动 方程得到，内场网格由超限插值的方法代数生成， 其计算量也较小，能够生成相对复杂的动态网格， 但不易保证网格品质，尤其是不能保证物面网格 的正交性为此，文献 [14] 提出了一种加权技术将 刚性运动网格技术和超限插值动网格技术结合起 来，实现了飞船等外形的动态结构网格生成.

　　加权超限插值动网格生成方法的基本思路是: 首先，由初始网格 xn 生成刚性运动网格 xmf1，再 由 η 时刻的开边界和 n+1 时刻的物面边界代数 插值得到 n+1 时刻的网格 xren ，最后由两者加权 得到新时刻的动网格

　　xn+1 = (1-ω)xrefl +ωxref2，0 ω 三 1 (1)

　　只要适当选择加权因子 ω，就既可保证物面 附近网格质量，义可使外边界保持静止而易于边 界处理.文献 [14] 构造了如下的加权因子，网格生 成实例表明效果较好.令 j 为法向网格指标，则有

　　3.1.3 重叠结构动网格技术

　　重叠网格技术始见于 1983 年 Steg町等 [7] 的 开创性 E作.重番网格技术的基本思想是在计算 域的各个子域采用阿域(亘叠部分)共享的方法来 实现信息交 换，而不是 采用边界共享的方法 ，从而 大大减轻了子域网格生成的难度，而且能够保证 子域的网格品质.重叠网格技术在复杂外形的数 值模拟中己经得到了广泛的应用 [8]

　　由于重叠结构网格在处理简单的单体组合构 刑方面的优势，其被许多 CFD 工作者推广应用 于多体分离非非定常问题的数值模拟 .例如在美 国国防部资助的外挂物投放 ACFD CHANLLENG I"，-，IV 项日中，许多参与该项日的研究人员采用了 重替 网格技术 [15，16J 在其他方面，也 有很好 的重 叠网格的应用实例 [17，叫在国内，张玉东等[21]利 用重叠结构动网格技术数值模拟了子母弹分离过

　　和;李亭鹤 r.r; [22J 利用多块豆费结构动网格技术和 准定常计算方法，数值模拟了子母弹抛壳过秤:，杨 明智 [23] 等利用豆替结构动网格数值模拟了直升

　　机外挂物投放的过和.国 2 显示了文献 [23] 中采 用的直升机、悬翼和外挂物的重叠网格拓扑结构 和l直升机周 围的结构网格.

　　尽管重叠结构动网格技术在实际工和应用中得到了广泛应用，也取得了巨大的成功. 但是?

　　;在非定常运动的每一新的时间层上，重叠网格不

　　仅需要更新各子域的网格而且还需要对于域的 重香阪网格进行插值平 n更新，从而导致计算量增 大.对于流场中存在强间断的问题，如果强间断 穿越豆叠庆，则会导致子域边界间的插值误差， 由此影响到非定常问 题的计 算精度.这种插值误 差 的长时间积累将导致非定常 计算误差的进 一步 放大.

　　第 4 期 张米平等功网格生成技术及非定常计算方法进展综述 427

　　国 2 重叠结构动网格生成豆豆例 [231

　　3.1.4 滑移结构动网格技术 由于重叠网格需要在每个时间层内的子选代

　　中进行重叠阪插值，而且在每个时间层之间，需

　　要重新搜寻插值关系，一方面会带来插值误 差，另 一方面由于搜寻插值关系，也会降低计算效率.为

　　此， CFD 工作基于搭接结构网格技术，发展了搭 接结构动网格技术，即所谓滑移结构动网格技术 ， 目前在一些大型 CFD 软件中集成了这种网格技

　　术[凹，201

　　滑移结构动网格技术的基本思想是在运动部 件的运动轨迹周围预先划分出一个滑移子域.在 滑移子域和以外的区域分别生成多块结构网格 j 在滑移子域与其他区域的交界面处?利用搭接边 界条件与其他|天域对接从而实现整体流场的计 算.滑移网格技术在旋转部件(如发动机内流、直 升机悬翼、螺旋桨等)、列车交会、列车过隧道等问 题中应用广泛.国 3 显示了从文献 [19J 中摘录的滑 移结构动网格实例.

　　国 3 消移结构动网格头'例 [191

　　3.2 基于结构动网格的非定常计算格式

　　3.2.1 非惯性系卡的非定常计算方法

　　正如 3.1 节中所述，征刚性结构网格卡，可以 采用不同的参考坐标系描述控制流动方和. 如果 为了消除动网格计算所带来的诸多问题(如儿何 守恒率、动边界条件等)，可以采用非惯性系卡的 流动方和. 例如，对于俯仰运动问题，假设坐标系 绕 z 轴在俯仰平面内作单自由度旋转运动，角速

　　度矢量为 ω(t) = -f2k ，记 V 为流场中某 一点的绝 对速度(在惯性坐标系卡观察的速度)， Vr 为 该点 相对于动坐标系(国连在运动的物体上随物体 一

　　起转动)的速度 ，r 为该点到动坐标系原 点的向径

　　(见国 4) ，应有V= Vr 十 ω X r . 经过不复杂的推 导，就可以得到俯仰运动 非惯性笛卡儿坐标系 下 以 (ρ，Ur ，Vr ，Wr， p) T 为原始变量 的三维非定常无量 纲化的 Navier-Stokes 方和

　　θQ ， θE θFθG 一一一一一一一 θt ' θX δY θz

　　1 (θEv θF v θGv \ ，

　　Re∞ \θX θν l θz ) ， - (4)

　　上式中各物理量的具体表达式可以参见文献 [14]，

　　。

　　其中的 S 是冈为坐标变换而 引入的源项

　　ρ( f22x - 2 f2vr - f2ν)

　　8 = 1ρ。( f22y + 2 f2ur + βX) I (5)

　　ρ[ f22(XU r + YVr ) + 口(XVr -yur)J

　　利用非惯性系的流动 方程，可以降低计算对

　　动网格的依赖性，传 统 的定常流网格生成方法可

　　428

　　力 学 进 展

　　2010 年第 40 卷

　　以直接应用于生成非惯性系的非定常计算网格. 但是，这种方法具有较大的局限性.第一，在非惯 性系下的方程非常复杂，尤其是在考虑多自由度 运动的情况下会更加复杂;第二，在非惯性系下的 边界条件的实现，同样必须进行严格的坐标系变

　　化的三维非定常 Navier-Stokes 方程可写成如下守 恒形式

　　一-一-一一一

　　θ(J-1.Q) ， θtt-OS' ，。。­

　　，

　　θt θ'{ .旬 'θ〈

　　1 I θE制。F.， θG.，

　　换，形式复杂;第三，对于源项的处理是一个需要

　　Re \苟:..+苟:..+写:")

　　(8)

　　研究的问题，处理得不好将影响计算的收敛效率; 第四，非惯性系下得到的计算结果需要经过繁琐 的坐标变化转换到惯性系 F进行流场显示，带来 诸多不便;第五，对于多体分离问题或变形运动问

　　题，该方法难以满足要求.鉴于上述问题，目前国

　　值得注意的是，在动网格非定常计算中，变换中必 须保留时间导数项，即

　　p9

　　p9u +kxp

　　际上通行的非定常计算方法绝大部分均采用惯性 系下的流动控制方程进行计算.

　　F = ktQ + kxE +k1lF + kzG=

　　ρ9v +k1lP

　　ρ0ω +kzp

　　ρ9h - ktp

　　Yo

　　V∞

　　一一+

　　zO z

　　αt: 平衡攻角

　　8(t): 俯仰振荡角

　　V=Vr +ω xr

　　α=αt + 8(t)

　　z

　　Fv = kxEv +k1lFv + kzGv =

　　o

　　kxTxx +k1lTX 1l +kzTxz kX T1IX +k1lT1I1I +kzT1Iz

　　。

　　kxTzx + k1lTz1l +kzTzz kxßx +k1lt马 +kzßz

　　= kt + kxu +k1lv +kzω = kx (u - Xt) +

　　(9a)

　　(9b)

　　怡，y ，z): 非惯性坐标系

　　(xo，YO ，zo): 惯性坐标系

　　图 4 俯仰运动非惯性坐标系统的定义

　　k1l (v - Yt) +kz (ω - Zt)

　　关于其中符号的含义可以参见文献 [14).

　　3.2.3 非定常计算的时间离散方法

　　(10)

　　3.2.2 惯性系下的非定常计算方法 在惯性笛卡尔坐标系中，无量纲化的 三维非

　　定常 Navier-Stokes 方程可写成如下守恒形式

　　- -ô-E+ F+-一ôG =

　　δQ. δ

　　ôt-. + θ'x .-ô-y . ôz

　　1 (δEv . ôF" . δGv 飞

　　Re∞飞 θx ' ôy ， θZ ) (6)

　　在贴体结构网格上进行计算，需要进行贴体坐标 变换，在动网格计算中，一般引入如下与时间相关 的变换

　　(7)

　　e = e(x，y，z; t.) l η=η(x，y ，z; t.) I ç = Ç(x，y ，z;t.) J

　　将物理平面中的运动网格转换至计算平面中的正 交静止网格.则在一般静止曲线坐标系中，无量纲

　　非定常计算的空间离散方法，与定态网格情 况 F的计算方法类似，唯一的不同之处是 :在动网 格情况下，对流通量项中多出了网格运动项，即式 (10)中的问，协和 Zt. 由于网格运动项的出现，要 求在动网格情况下保持几何守恒率，该问题将在 3.2.4节中讨论.

　　非定常计算除了关注空间离散精度外，还要

　　重点关注时间项的离散方法.时间方向的精确离 散，才有可能得到精确的非定常计算结果.另一方 面，因为非定常问题的计算量要比定常问题的计 算量高 1"，，2 个量级，非定常计算的效率也是普遍 关注的问题.因此，时间项的离散就显得尤其重要.

　　关于非定常计算的时间离散方法，大致可以分为如下几种:显式时间推进 [24l ，双时间步隐式 迭代推进 [25l ，单时间步隐式法代推进[26] ，通量 分裂隐式迭代推进 [14] 以及半隐半显时间推进方

　　法 [27] 等.

　　第 4 期 张来平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 429

　　J-l +J-1 -'" - .''''

　　守恒方程 (8) 经空间离散后，可写成如下半离 散形式

　　方程 (15)左端引入虚拟时间 (1') 的导数项，得到

　　θ(J-IQ)

　　，âQ ， T_，3Q_4Qn+Qn-l ，

　　述混合网格技术推广应用于非定常流动的计算.

　　与结构动网格类似，将非结构网格和混合网 格推广应用于运动物体非定常运动的方法主要有: 重叠非结构动网格技术 [37，381，重构非结构动网格 技术 l39，40l ，变形非结构动网格技术[41~47!，以及变 形/重构混合网格生成技术问 50J 等.当然，如果 利用非惯性系下的方程，计算网格可以采用刚性 网格，这与结构网格类似，这里不再重述.

　　4.1.1重叠非结构动网格技术

　　正如 3.1.3 节中所述，重叠网格方法最先在 结构网格中得到应用. 然而这种方法在网格间 信息传递方面的欠缺始终得不到有效解决 首 先 Chimera-hole 需要在每一个网格区域进行切 割，不可避免地要破坏物面边界或者外围不需要 切割的网格;其次插值需要建立在重叠网格洞边界 (chimera-hole)的每一个边界点上.这些"挖洞"过 程中存在的问题影响了结构重叠网格的适用范围.

　　432 力 学 进 展

　　2010 年第 40 卷

　　非结构重叠网格的出现有效地解决了上述问 题.通过使用非结构网格，覆盖流动区域所需要的 子网格数目可以大大减少，而且很容易将该方法 推广到处理有相对运动的多体绕流问题下面介 绍 N幽hashi 等问提出来的在非结构重叠动网 格中用重叠网格边界定义 (intergrid-boundarγdef­ inition) 技术进行数值传递的方法.该方法中子网 格间的数值传递，主要包括两个步骤:

　　(1) 网格"挖洞"该步骤首先将每个子网格中 的所有节点分为两类:活动节点和非活动节点，主

　　网格(背景网格)的重叠区内边界则由最靠近非活

　　动节点的活动节点构成.所谓"活动"是指在非定 常计算中需要计算的网格节点;而"非活动"是指 与另外的网格域重叠而无需计算的网格节点，这 部分节点可以被"挖"去.而用来区分是否被挖去

　　的判据，则是"距壁面的最小距离飞具体方法是: 首先计算包涵某部件的子网格域内的网格点到该 部件表面的距离缸，和该节点到背景网格中部件

　　表面的距离 d2，比较二者的大小，将更靠近子网格 部件表面的网格点作为活动节点 (dl < d2). 如图

　　5 所示，虚线表示包涵部件 A 的子网格域，其中点

　　t 距 A 表面的距离较 B 近，因此节点 4 为活动节 点参与计算;而节点 j 则相反，属于非活动节点 图 6 '"图 8 则是根据这一判据所得到的网格. 由于分离物体在很短的时间步内只运动很小的距 离，每一个网格可能只运动到邻近的三、四层网 格位置，因此在建立起每一时间步内关于节点的 八叉树数据结构后，可以使用 N-T-N (neighbor­

　　to-neighbor) 查找技术快速确立网格之间的联

　　系 [37，叫.

　　国 5 洞边界搜寻与插值尽意图

　　国 7 背景网格中 的活动部分

　　国 6 背景网格与子网格

　　国 8 子网格中的活动部分

　　第 4 期 张来平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 433

　　(2) 数据插值.在第 1 步中确定了运动子网格 域的边界点与背景网格域的联系后，通过背景网 格重叠区域的活动网格得到子网格"外"边界上 的物理值，反之亦然.

　　虽然重叠非结构动网格具有比重叠结构网格 更好的适应性，但是其仍然需要在每一个时间步 进行数据插值，因此不可避免地会带来误差 ，这对 长时间的非定常计算同样是不利的.

　　4.1.2 重构非结构动网格技术

　　"重构" (static-regridding) 非结构动网格生成 技术，即在每个时间步重新生成一次网格.其优点 是: (1) 概念简单 (2) 容易处理大变形或大位移

　　问题.其缺点是: (1) 每一步都需要插值，不可避

　　免地引入插值误差; (2) 每个时间层之间的插值关 系需要重新获得，由此增大了计算量.这种方法被 Grüber 和 Carstens[39) 用于涡轮发动机叶片的强迫 振动问题.Schulze[40) 采用这种办法处理了机翼运 动的空气弹性问题.

　　4.1.3 变形非结构动网格技术

　　"变形" (movi吨:-grid 或 deforming-grid) 非结构 动网格生成技术的基本思想是:在保持网格拓扑 结构不变的情况 F，重新分布网格节点其优点 是能够保持网格关联信息不变，避免了每一步的 插值.缺点是:在大尺度运动后网格质量会变的很 差，甚至有可能相交，即出现负体积单元，导致非 定常计算的失败.非结构网格的变形技术主要有

　　以-1"几种方法:

　　(1) 弹簧拉伸法

　　在文献 [41] 中， Frederic 将弹簧拉伸法分为两 类:点拉伸法 (vertex spring) 和片拉伸法 (segment spring). 点拉伸法最先用于优化初始非结构网格 的生成，其基本思想是将网格节点之间的联系视 为等强度的弹簧，在给定边界约束的前提下，弹簧 系统的平衡态即为优化后的网格分布 .在动网格 生成过程中，由于物体运动导致弹簧系统的平衡 态破坏，此时需要通过松弛法代法移动相关的网 格节点，保持弹簧系统的动态平衡.由 Hook 定律 可以得到所有与节点 t 相连的节点 j 对其所施的 力

　　式中 αω 是节点 4 和 j 之间的弹性系数 ，N 是与 4 相邻的节点数目.为了使系统平衡，每个节点上的 合力必须等于 0，整理之后的法代方程为

　　N

　　Zα432?

　　z?+1= 主卡一 (37)

　　艺 αij

　　方程 (36) 作用于网格内的每一个节点，每法 代一次都使节点进→步趋于平衡.在实际应用过 程中，并不要求整个系统达到真正的平衡，因为弹 簧拉伸只是一种优化网格质量的方法，因此法代 的次数可以不必太多，过多的法代步数会影响计 算效率.在每一次的迭代中，新的节点位置 Xi 实 际上是周围节点坐标的加权平均，权重是弹性系 数 αij. 一般取何= 1，即假设所有弹簧等强度;有 时根据需要，可以适当调整弹性系数 α妒

　　点拉伸法对于小变形或小位移问题具有良好

　　的计算效率;但是对于变形或位移较大的问题，将 无法得到高质量的计算网格为此， Batina[42) 等提 出了片拉伸法，其与点拉伸法的不同之处在于拉 伸时的平衡长度 (equilibrium length of spring) 不同 (点拉伸法的平衡长度设为 0). 该方法中，弹簧的 平衡长度定义为初始时刻的节点间距，而将 Hook 定律作用于节点的位移量，即

　　N

　　F i = 汇α甘 (ðj - ði) (38)

　　j=l

　　式中 ði ，ðj 分别是节点i，j 的位移.迭代方程即为

　　N

　　Zαijðj n

　　δ?+l= 弓一-UXi (39)

　　艺 αij i=l

　　这里， Diric划.et 边界条件被设定为己知的动边界位 移，而弹簧的弹性系数取为节点间距的倒数

　　αij = I !=:= (甜)

　　\/(Xi -Xj)" + (执 - Yj)"

　　经过方程 (38) 的迭代，点 t 的坐标最终成为

　　z?ew=z?ld+δ?anal(41)

　　N

　　F= 艺创j( 的 -Zi) (36)

　　Batina[42) 首先将该方法用于生成机翼颤振的

　　动态非结构网格. 后来很多学者都采用该方法来

　　434 力 学 进 展

　　2010 年第 40 卷

　　处理动边界问题:如 Slikkev'四r 等问用它来处理 自由表面问题;H凶san 等问!用它来处理外挂物分 离问题; Blom 和Leyland[45] 用它来处理强迫振动 和流场结构干扰问题; FI町hat 等 [46] 和 Piperno[47] 用它来处理气动弹性的计算问题.值得注意的是， 弹簧拉伸法不仅适用于非结构网格，也适用于结 构网格，例如 Nakah回，bi 和 Deiwert[51] 用其处理网 格自适应问题.在国内，杨国伟等 [52] 利用该方法 进行了飞机气动弹性的数值模拟.

　　(2) 基于Delaunay 背景网格的网格变形方法 最近 Liu 等 [53] 发展了基于 Delaunay 背景网

　　格的插值方法，较好地解决了非结构网格的动态 变形问题它首先按照 Delaunay 准则生成一套非 常稀疏的背景网格;然后建立计算网格节点与 D令 launay 背景网格单元的一对一映射关系这种映射 关系-旦建立，在运动变形过程中便不会更改.这 样在 Delaunay 背景网格变形运动以后，计算网格 的节点坐标就可以依照先前建立的一对一映射关 系很快回插计算出新的坐标.与目前普遍使用的

　　弹簧拉伸法相比，该方法的最大优势在于不用法 代计算，效率得到较大提高，而且对于较大尺度变 形问题，该方法能得到较好的动态网格.

　　Delaunay 背景网格的插值方法可以分为 4 个 步骤: (1) 背景网格的生成; (2) 映射，即建立计算

　　网格节点与背景网格单元的映射关系; (3) 背景网

　　格的运动和变形; (4) 回插，即依照新的背景网格

　　和在第 2 步中得到的映射关系做逆运算得到节点 新坐标. Bowyer[叫和 Watson(55] 指出:对于空间 位置确定的点集，存在一个唯一的三角形 (2D) 或 四面体 (3D) 构造方案. Delaunay 网格生成方法的最大缺陷是不能保证物形边界的完整性，因此往

　　往需要通过各种方法删除物体内部的网格，并通 过边界修正保证边界的完整性.然而，在这里却 不必严格保持物形边界，因为De launay 背景网格 只是用于记录计算网格的相对位置.它只需保证 能够进行正确的回插，其自身的边界完整性与计 算网格没有任何关系图 9 显示了通过 Delaunay 背景网格插值方法得到的鱼体巡游的动态混合 网格.

　　〈二二::::::=:- C二二、 卢

　　(b)

　　(c)

　　困 9 通过 Delaunay 背景网格插值法得到的混合动网格 (53]

　　4.1.4 变形/重构混合网格生成技术 无论是弹簧拉伸法，还是基于 Delaunay 背景

　　网格的插值法，它们在处理更大变形的非定常问题

　　时(如长距离多体分离)，均存在较大的困难，因为

　　大变形将导致网格单元的质量急剧下降，有时甚至 导致网格的相交，进而影响非定常计算的精度，甚 至导致计算失败张来平等问、常兴华等闷， 50] 在以往发展的定态混合网格技术的基础上，提出了

　　第 4 期

　　张宋平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述

　　435

　　解决此类问题的新策略，即将弹簧拉伸法与局部网 格重构结合起来生成动态网格.首先采用弹簧拉伸 法移动网格节点，然后进行网格质量检测，如果网 格质量满足要求，则继续利用弹簧拉伸法进行下一 步的网格生成;如果变形后的网格不能通过质量检 测，则在局部进行重构.这便是所谓的变形/重构混 合网格生成技术.与此类似郭正和刘君 [561 等利 用该技术进行了多体分离的动态非结构网格技术 的研究以变形体的动态混合网格生成为例，这里 简要地给出了动态混合网格生成过程.具体的动 态混合网格的流程图如图 10 所示.

　　要对一个运动的物体生成动态网格，首先要 生成初始时刻的静态网格，然后当物体运动时对 网格进行相应的调整.为了适应复杂外形，最好

　　物体变形

　　的方法当然是混合网格 [1，21 这里，采用了如下 的初始定态混合网格生成策略(以二维问题为例) : 混合网格由贴体的四边形网格、外围的矩形网格 和中间连接的三角形网格组成.贴体的大伸展比 的四边形网格由层推进法生成，用来模拟边界层. 然后在整个计算域内用四分树方法生成覆盖全场 的矩形网格，随后删除贴体结构网格附近和内部 的矩形网格，这样在矩形网格和四边形网格之间 形成了一个缝隙，之后用阵面推进法生成三角形 网格填补这个缝隙，并用弹簧拉伸法和"对角线交 换"方法对三角形网格进行优化.具体方法可以参 见文献 [57"'59]. 为了适时控制初始阵面划分以及 推进过程中新的点的插入，以得到光滑并且适用 于物理问题的网格分布，可以采用控制计算网格 空间步长分布的矩形背景网格技术 [57，60J

　　贴体四边形间格变形 控制网格分旬的背景间格调整 三角形网格节点松驰

　　笛卡尔网格重新生成 局部三角形网格重构

　　下一时间步

　　图 10 动态混合网格生成示意图(弹簧拉伸法和局部网格重构法锅合)

　　在静态混合网格生成之后，则按如图 10 所示 的方法生成动态混合网格.首先，物体周围贴体的 四边形网格随物体变形而变形.具体过程如下:

　　(1) 在初始网格生成中记录每一层的节点数 目、四边形数日，并记录生长方向的点与点之间的

　　联系，以及点与点之间的线段长度.

　　(2) 当外形变化时，第 1 层的网格点坐标随着 外形的变形而更新

　　(3) 求第 1层节点的新推进方向并进行法线光 滑.

　　436 力 学 进 展

　　2010 年第 40 卷

　　(4) 按照保存的初始网格信息(推进距离，节

　　点关联信息等)，利用新的推进方向，更新第 2 层点 的新坐标.

　　(5) 以此类推，直到最后一层四边形网格点的 坐标更新完毕.推进的步长和初始网格生成中步 长一致，无需重新求解.

　　当贴体四边形网格更新完成后，外部的矩形 网格保持不变，中间的三角形网格利用弹簧拉伸

　　法进行节点松弛当三角形的质量过差(外接圆和 三角形面积比大于一定的值)或者四边形网格和 矩形网格相交时，局部矩形网格和三角形网格都 重新生成.作为动态混合网格的生成实例，这里给 出了两个动态混合网格生成实例，其中图 11 为一

　　个周期内双鱼对摆的动态混合网格，图 12 是战斗

　　由于Delaunay 背景网格插值法在中小变形情 况下能快速生成高质量的动态网格，为此进一步 发展了基于Delaunay 背景网格插值法和局部网格 重构法相结合的动态混合网格生成方法.其网格 生成流程如图 13 所示.其基本思想与前述稿合 方法相似，只是在变形网格生成过程中采用了 De­ launay 背景网格插值法，而 Delaunay 背景网格本 身的变形则通过弹簧拉伸法实施变形，如果弹簧 拉伸法无法得到合适的 Delaunay 背景网格，背景

　　网格本身也可以重构.作为实例，本文生成了三 段翼型的副翼折转运动的动态混合网格(图 14). 后缘副翼从初始状态折起，变形位移很大，但是利 用 Delaunay 网格插值方法仍能在不改变网格拓扑 结构的情况下，生成全过程的动态混合网格(如圈 14(b)rv 圈 14(d) 所示).这里 Delaunay 背景网格仅 覆盖副翼附近的区域，其外边界点当副翼折转时 适当旋转.从图 14 中可以看到，在整个运动过程 中，外场的网格保持静止，局部网格变形，变形网格

　　第 4 期 张米平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 437

　　的质量保持良好.对于三维问题，国 15 显示了鱼体

　　模型巡游时的动态混合网格，国 16 显示了变形飞 机模型的动态非结构网格(表面网格和 空间网格)，

　　可以看到，由于棍合方法综合了 Delaunay 背景网 格插值法和局部网格重构法的优势，冈此能够生 成复杂外形的高质量动态网格.

　　Delaunay背景网一幅至南

　　建立计算网格'与 Delaunay

　　背景网格的描值对应关系

　　国 13 动态混合网格生成示忘国 (Delaunay 背景网格插值法和局部网格重构法稍合)

　　国 14 多段典型的品IJ 翼折转过程的动态混合同格

　　l:l '" i11 It( :20 10 r : 10 古

　　剧 15 三维鱼体巡游的动态混合网格

　　YLCz Yt之z

　　国 16 变形飞机的 三维动态非结构网格

　　4.2 基于非结构/混合网格的非定常计算格式

　　4.2.1 流动控制方程 基于非结构/混合网格的流动控制方程实际上

　　与基于结构网格的流动控制方程一致.但是，在非 结构/混合网格情况下，基于贴体坐标变换的有限

　　差分法已经不再适用，这时一般采用积分形式的控

　　制方和.在运动网格情况下，一般可以将非定常 NS

　　方程写成如下的积分形式(以 二维问题为例)

　　!JQdV+ f阳x +Frny - Q的叫Jds-

　　V 8

　　言1φ(Evnx + FVny)ds = 0 (42)

　　.& ..OO J

　　其中 Vg 为网格面的运动速度， n 为法线方向，V 和

　　8 分别为网格单元的体积分和面积分，其他物理量

　　的定义与 3.2 节相同.

　　4.2.2 时间离散方法 与基于结构网格的非定常计算方法类似，利

　　用非结构/混合网格求解非定常问题，最直接的时

　　间离散方法是多步 Runge-Kutta 显式推进方法，但 是这种方法要求选取非常小的真实时间步长，否 则无法满足时间精度的要求，而且时间步长的选 取需要满足稳定性条件，对计算带来很大不便.隐 式方法又大致分为两类:一类是直接的隐式离散 方法，另一类是双时间步方法 [61，叫.在实际工程

　　第 4 期 张来平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 439

　　问题的非定常计算中，一般都选用双时间步方法 . 在虚拟时间步远代过程中，则可以采用成熟的加 速收敛技术，如隐式计算方法、多重网格方法、并 行计算方法等.这与基于结构网格的非定常计算 方法类似，只不过需要采用针对非结构网格的隐 式计算方法、多重网格方法和并行计算方法等.关 于子送代的加速收敛技术将在 4.2.5 节中介绍.

　　4.2.3 不可压缩的非定常计算方法 在不可压缩流中，非定常现象也非常普遍.

　　对于不可压缩问题，常用的计算方法有预处理方 法 [62 64] 和虚拟压缩方法 [65 6η. 预处理方法是

　　在控制方程时间项中引入了预处理矩阵 (r)

　　r!JQ机 f [E[nx + F[ny - Q(Vg• n)1

　　V 8

　　R cof 肌x +FVny)…侧

　　8

　　通过选取合适的矩阵，解决低速流计算的收

　　敛问题，具体参见文献归2rv64l. 虚拟压缩的概念 则是 Chorin[65] 首先提出的，他通过在连续性方程中引入压力对虚拟时间的偏导数从而把压力场和 速度场藕合起来.

　　预处理方法和虚拟压缩方法最先应用于定常 问题的计算，以加速不可压缩流计算的收敛历程， 后来一些学者结合双时间步方法，将预处理方法 和虚拟压缩方法应用于非定常计算 [62，66，67J 当然， 关于不可压缩流的计算还包括 SIMPLE 算法[倒l、 微可压模型 (SCM) 计算方法阳，而]和当前比较热 门的技影法 [71，72] 等等，这些方法也相继被推广应 用于不可压缩流的非定常计算.由于篇幅的限制， 这里不再详述.

　　4.2.4 动边界问题 非定常计算往往要碰到动边界问题，解决这

　　一问题的方法有很多，例如非惯性系 F的刚性 运动网格方法、内置边界方法 [73 75] (immersed boundary，IB) 、动网格计算方法等等.关于非惯 性系 F的非定常计算方法，在前节已经介绍，这里 不再重复

　　(1) IB 方法

　　对比边界保形 (bound町 conforming) 的动网 格计算方法，田方法实际上是一种非边界保形法

　　(bound町non-conforming method). IB 方法采用的 网格一般为笛卡儿网格或者简单的圆柱网格，网 格不需要与物体边界保持一致，因而简化了网格 生成的难度.采用 IB 方法，需要在控制方程中引 入源项以保证物体边界的无滑移条件;对于包含 物理边界的网格单元还需要在控制方程中引入 质量源以保证质量守恒，以不可压缩流为例，其微 分形式的控制方和变化为

　　(等)俨+V" (UrU俨) = -V'P+ 合2Ur +

　　(44)

　　j' V" Ur-q=O

　　其中 f 为动量力，q 为质量源. 这种方法不用考虑复杂的物体外形，可以采

　　用简单的网格，因此很受重视，近来一些作者相继

　　将其推广应用于非定常问题的计算，如 Kim 等 [75] 结合坐标变换，将该方法应用于非惯性系下的非 定常计算;王亮 [76] 通过内置边界和自适应笛卡儿 网格的方法，对三维鱼体的自主推进进行了数值 模拟;邵雪明等 [77] 利用该方法模拟了二维多鱼巡 游的问题等.尽管这种方面在一些简单外形的数 值模拟中取得了较大的成功，但是对于复杂问题， 如何适当选取边界处的分布函数，严格保证边界 条件，依然是值得深入研究的问题.因此，边界保 形的动网格方法仍然是主流方法.

　　(2) 儿何守恒律 与结构动网格计算一样，在非结构动网格计

　　算中，必须考虑儿何守恒率. Lesoinne 和 Farhat[78]

　　阐述了动网格计算的几何守恒率 (GCL) 问题.他 们认为动网格的计算必须满足几何守恒率，并分 析了任意拉格朗日·欧拉 (ALE) 有限体积法、有 限元方法、时空稳定的有限元方法等算法的儿何

　　守恒率问题.其中，时空稳定的有限元算法能自动 满足几何守恒率 j ALE 方法则需要保证每个网格 单元的体积变化等于每个面在运动过程中扫过的 体积之和，并提出了用"中间点原则"来求解网格 面运动速度的方法.他们还通过计算分析了儿何 守恒率对计算结果的影响(如国 17 所示)，在此类 流国辑合问题的计算中，如果不满足几何守恒率， 会导致计算结果的振荡.

　　v.

　　θ

　　对于式 (42)，如果流场为均匀流，则要求下式 得以满足

　　!= )vgndSf (45)

　　这便是所谓的儿何守恒律的数学表达.将式 (45)

　　改写为差分形式，有

　　A; =L

　　Ern+l τrn

　　勺 勺 与ndSf (46)

　　事实上，每个单元的体积变化量等于每个面在运 动过程中扫过的体积之和，即

　　只叫 -η= 艺A巧 (47)

　　比较式 (46) 和式 (47)，可得

　　gn - .6. f

　　.6.Vf = .6.tvgndSf 、 Vgn = 全旦二 (48)

　　tdS

　　利用上述方法求出 Vgn ，带入原控制方秤，即可 自动满足儿何守恒率 [79 ，80)

　　4.2.5 加速收敛技术

　　对于非定常计算，当采用双时间步方法，要求 每个时间层间的子选代具有较高的收敛效率，这 时可以将定常流计算中很多成熟的加速收敛技术

　　引入进来.用隐式方法求解时，控制方和最后变为

　　一个非线性的方程组.如果用全隐式的牛顿选代 法求解此非线性方程组，则每一时间步都需要对 矩阵求逆，计算量会非常大-般可以将方程组线 性化，采用法代法来求解代数方和组.

　　简单的法代法如雅克比 (Jacobian) 法代、高 斯 - 赛德尔法代 (GS)[81 84] 已经在隐式方程的求 解中得到了成功的应用.但是，随着网格数量的

　　增加，这种选代方法的收敛效率会降低.日前，应 用较多的是 LU-SGS (lower upper symmetric Gauss­ Seidel) 方法. LU-SGS 方法最初由 Jameson 和 Yoon(85) 应用于结构网格的计算中，通过雅克比矩 阵的冈式分解结合高斯-赛德尔地代，提高了收 敛效率，之后这种方法被成功地应用于非结构网 格 [86] 预处理的 GMRES (general minimum resid­ ual) 方法同样可以提高收敛效率，尤其当结合 ILU 因式分解法时，收敛效率会更高 [87，88). Luo 等 [89，90] 采用 LU-SGS 方法作为 GMRES 方法的预 处理算子，发展了 GMRES-LU-SGS 方法，得到了 良好的收敛效率此外， Chen 和 Wang[91] 发展了

　　-种基于混合网格的块 LU-SGS 方法，在内存量 增加不多的情况扎得到了与全隐式方法相当的 收敛效率，在实际应用中得到了验证;后来，张来

　　平等 [80，92} 将该方法推广应用到动网格非定常计

　　算，得到了较好的非定常计算效率.

　　在不可压和亚跨声速流的计算中，广泛采用 多重网格法.多重网格法最早由 Brandt!93} 引入到 求解非线性偏微分方程的离散形式，后来这种方 法在 CFD 计算中的应用越来越广泛.它通过在儿 套不同疏密程度的网格上循环地对代数方程进行 求解，使得不同频率的误差分量均匀地得到衰减， 从而极大地提高了收敛速率

　　对于非结构网格而言，生成儿套疏密程度不 同的网格，要比结构网格困难的多. 方法之一是 生成相互嵌套的网格，即疏网格不断通过密网格 单元的聚合而得到 [94，95) 这种网格生成方法效率 高，但是当聚合的次数过多时，会使得网格质量急 剧下降(尤其是在边界 层 内)， 有可 能导致计算的

　　第 4 期 张米平等:动网格生成技术及非定常计算方法进展综述 441

　　失败;可能的解决方案是在聚合过程中引入一些 限制条件，保证聚合后的网格质量.张来平等 [96J 在基于动态混合网格的不可压缩流非定常计算中， 应用了基于混合网格的多重网格技术，进一步提

　　阔的应用前景.

　　2.5

　　2.0 • 实验结果

　　_ ._._.-无猫流

　　高了子选代的效率.

　　另一种生成多重网格的方法是生成相互独立 的网格，网格之间通过线性插值进行流场信息的 传递 [97，98J 这种方法能够保证疏、密网格的质量 ， 可以生成多套网格，提高计算效率和精度，缺点是 网格生成难以自动化，需要重复地在同-15<:域内 生成网格.

　　5 结束语

　　本文从非定常计算采用的网格体系的不同 ， 分两个部分对非定常计算方法进行了综述，即基 于结构网格的非定常计算方法和基 于非结构/棍 合网格的非定常计算方法.其间，重点介绍了应 用于非定常计算的动态网格生成技术、时间离散 方法、儿何守恒率、加速收敛技术等.在介绍国内 外进展的过程中，也介绍了作者在非定常计算方 法方面的研究成果.

　　从正文的论述中，可以看到，各种非定常计算 方法均有各自的优缺点.对于基于结构动网格的 非定常计算方法，其网格拓扑简单、计算效率高， 所以在简单外形的非定常流动机理研究中经常采 用;对于复杂的工程实际问题，显然基 于动态混合 网格的非定常计算方法具有更好的优势.

　　就国内外日前的发展而言，非定常计算方法 己经取得了长足的进展，在实际工程应用中也发 挥了较好的作用.但是，应该清醒地 看到，仍有许 多工作需要深入，尤其是非定常计算的时间精度

　　问题、复杂构型的动态混合网格自动生成的 鲁棒

　　性和实用化问题、计算效率的提高问题等等.当 前，大规模并行计算已经成为一种趋势，对于计算 量巨大的非定常问题，采用并行计算技术是必然 的选择.

　　最后需耍说明的是，在非定常计算方法的研 究与应用方面，国内外都有很多卓有成效的工作， 文中引述的资料肯定不够全面;而且，对某些问题 的看法可能带有个人的偏好冈此，希望读者给予 批评指正

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　　推荐期刊：《计算机应用与软件》创刊于1984年，由上海市计算技术研究所和上海计算机软件技术开发中心共同主办，注重刊登反映计算机应用和软件技术开发应用方面的新理论、新方法、新技术以及创新应用的文章，致力于创办以创新、准确、实用为特色，突出综述性、科学性、实用性，及时报道国内外计算机技术在科研、教学、应用方面的研究成果和发展动态的综合性技术期刊，为国内计算机同行提供学术交流的平台。

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文章名称： 动网格生成技术及非定常计算方法进展综述事中级职称论文

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