基于子域法的游标混合电机电磁性能解析计算

　　摘要：针对游标混合电机(VHM)设计时难以实现快速准确的电机磁场求解问题，提出采用子域法推导游标混合电机的解析分析模型，实现电机磁场和电磁性能的快速准确计算。根据电机结构和各部分电磁特性，将电机求解区域划分为定子槽、定子槽口、永磁体(PM)、气隙和转子槽5个子域，根据各子域磁场偏微分方程和矢量磁位通解，结合边界条件求解各子域矢量磁位，计算气隙磁密、磁链、反电势(EMF)、齿槽转矩和电磁转矩。研究定转子槽宽对转矩脉动和平均转矩的影响，在不减小平均转矩的情况下，得到削弱转矩脉动的定转子槽宽组合。设计制造一台样机，实验结果验证了解析模型的正确性。

　　关键词：游标混合电机;子域法;矢量磁位;边界条件;有限元法

　　《防爆电机》(双月刊)创刊于1959年，由佳木斯防爆电机研究所主办。本刊立足于电机行业的发展，为促进我国科学技术的进步，首推最新成果，侧重刊载前沿科学和实用性强的文章。

　　0引言

　　游标混合电机(vernier hybrid machine， VHM)是一种新型的双凸极电机，其永磁体位于定子内表面，绕组安放于定子槽内，转子铁心上只有调制齿，不安放绕组。VHM具有高转矩密度和优秀的低速大转矩输出能力，散热性能好，转子结构简单可靠，适用于风力发电、潮汐发电和电动汽车等领域。

　　相关文献对VHM的结构和性能分析方法进行了分析与研究。通过分析VHM拓扑结构与工作原理，发现VHM难以同时兼顾高转矩密度和高功率因数。将传统游标混合电机的表面式磁极改为内置V字型，并在定子槽内增加励磁绕组，能够提高磁场调节能力。在旋转VHM的基础上，设计了单初级和双初级的VHM直线电机，提出了通过磁链、电流和位置數据预测电机性能的方法。采用直流偏置正弦电流控制游标混合电机，能够提高电机的转矩密度、功率因数和效率，扩大电机恒功率运行区域。

　　目前，游标混合电机的分析方法主要为有限元法。有限元法可以充分考虑铁心饱和、端部效应和漏磁等问题，求解精度高，但是计算时间长，建模复杂。作为一种解析分析方法，子域法具有计算时间短和计算精度较高等优点，已被用于表面式永磁同步电机和游标电机的磁场计算。本文采用子域法对VHM进行建模与分析，根据电机各部分电磁特性，将求解区域分解为多个子域，基于各子域的磁场偏微分方程和矢量磁位通解，根据各个子域交接处的边界条件求解得到各子域矢量磁位，并基于磁场进行电机性能计算。

　　1VHM工作原理

　　图1为VHM电机模型，永磁体和三相绕组都位于定子上。永磁体位于定子齿表面，箭头指向为永磁体的磁化方向。转子为开槽铁心，无绕组。

　　VHM的工作原理为磁场调制理论。定子永磁体的磁动势基波为

　　F=Fpmsin(Qpmθ+θ0)。(1)

　　式中：Fpm为永磁体磁动势基波幅值;Qpm为永磁体基波磁动势极对数;θ为机械角度;θ0为相位角。

　　由于转子的旋转，气隙磁导会发生周期性的变化，当转子沿逆时针方向旋转时，只考虑恒定值和基波，可将其表示为

　　Λ=Λ0+Λmsin(Qrθ-ωt)。(2)

　　式中：Λ0是气隙磁导恒定值;Λm为气隙磁导基波幅值;Qr为转子齿数;ω为转子旋转角速度;t为时间。

　　气隙磁密径向分量可以表示为

　　Br=FΛ=FpmΛ0sin(Qpmθ+θ0)+

　　FpmΛm2{cos[(Qpm-Qr)θ+θ0+ωt]-

　　cos[(Qpm+Qr)θ+θ0-ωt]}。(3)

　　气隙磁密主要包含3个分量，第1项是静止分量，极对数为永磁体磁动势基波磁极数Qpm;第2项是极对数为|Qpm-Qr|的旋转分量，若(Qpm-Qr)为正值，则该分量转向和转子运动方向相反，若为负值，则转向和转子运动方向相同;第3项是极对数为(Qpm+Qr)的旋转分量，转向和转子运动方向相同。两旋转分量会在电枢绕组中感应出交变磁链，转子旋转一周，磁链变化周期数等于转子槽数。

　　2子域划分与矢量磁位通解

　　根据VHM结构，求解区域可以被分为5个子域，分别为气隙、永磁体、定子槽口、定子槽和转子槽。子域划分和各子域主要结构尺寸如图1和图2所示。

　　在子域I(气隙)内，矢量磁位AI满足拉普拉斯方程：

　　2AIr2+1rAIr+1r22AIθ2=0。(4)

　　其通解可表示为

　　AI=∑k{[A1(rRm)k+B1(rRr)-k]cos(kθ)+

　　[C1(rRm)k+D1(rRr)-k]sin(kθ)}。(5)

　　在子域Ⅱ，对于径向充磁永磁体，磁化强度Mr可表示为

　　Mr=∑kMrkcos(kθ)。(6)

　　子域内矢量磁位AII满足泊松方程：

　　2AIIr2+1rAIIr+1r22AIIθ2=-μ0r∑kkMrksin(kθ)。(7)

　　式中μ0为真空磁导率。

　　其通解可表示为

　　AII=∑k{[A2(rRs)k+B2(rRm)-k]cos(kθ)+

　　[C2(rRs)k+D2(rRm)-k+μ0rkMrkk2-1]sin(kθ)}。(8)

　　在子域III(定子槽口)内，矢量磁位AIIIi满足拉普拉斯方程，其通解可表示为

　　AIIIi=C30+D30lnr+∑m[C3i(rRt)Fm+

　　D3i(rRs)-Fm]cos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(9)

　　式中Fm=mπ/α0。

　　在子域IV(定子槽)内，由于槽内导体中存在电流密度Ji，对其进行傅立叶分解，表达式为

　　Ji=Ji0+∑nJincos[En(θ-θi+αa/2)]。(10)

　　其中：

　　Ji0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jidθ， (11)

　　Jin=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jicos[En(θ-θi+αa/2)]dθ。(12)

　　式中En=nπ/αa。

　　该子域内矢量磁位AIVi满足泊松方程：

　　2AIVir2+1rAIVir+1r22AIViθ2=-μ0Ji。(13)

　　其通解可表示为

　　AIVi=C40+μ0Ji04(2R2sblnr-r2)+

　　∑n{D4i[G1(rR2sb)En+(rRt)-En]+

　　μ0JinE2n-4[r2-2R2sbEn(rRsb)En]}×

　　cos[En(θ-θi+αa/2)]。(14)

　　式中G1=(Rt/Rsb)En。

　　在子域V(转子槽)内，矢量磁位AVj满足拉普拉斯方程，其通解可表示为

　　AVj=C50+∑mD5j[(rRrb)Gm+(rRrb)-Gm)×

　　cos[Gm(θ-θj+αra/2)]。(15)

　　式中Gm=mπ/αra。

　　3边界条件与未知系数求解

　　在5个子域的矢量磁位通解表达式中，系数A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2、C3i、D3i、C30、D30、D4i、C40、D5j和C50为未知系数，需要结合相邻子域的边界条件，即矢量磁位连续和磁场强度切向分量连续，建立包含未知系数的方程组，进行求解。

　　在子域I(气隙)和子域II(永磁体)的交界面(r=Rm)上，矢量磁位A和磁场强度的切向分量Hθ满足边界條件：

　　AI(Rm，θ)=AII(Rm，θ)，

　　HIθ(Rm，θ)=HIIθ(Rm，θ)。 (16)

　　从而可得：

　　A1+B1(RmRr)-k-A2(RmRs)k-B2=0， (17)

　　C1+D1(RmRr)-k-C2(RmRs)k-D2=μ0Rmkk2-1Mrk， (18)

　　μr[A1-B1(RmRr)-k]-A2(RmRs)k+B2=0， (19)

　　μr[C1-D1(RmRr)-k]-C2(RmRs)k+D2=μ0Rmk2-1Mrk。(20)

　　在子域II(永磁体)和子域III(定子槽口)的交界面(r=Rs)上，边界条件为：

　　AII(Rs，θ=θi±α0/2)=AIIIi(Rs，θ=θi±α0/2)，

　　HIIθ(Rs，θ=θi±α0/2)=HIIIiθ(Rs，θ=θi±α0/2)。(21)

　　将矢量磁位AII统一到上，可得

　　AII=AII0+∑mAIImcos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(22)

　　其中：

　　AII0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIdθ，(23)

　　AIIm=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIcos[Fm(θ-θi+α0/2)]dθ。(24)

　　将磁场强度切向分量HIIIθi统一到上，可得

　　HIIIθi=∑k[CIIIkcos(kθ)+DIIIksin(kθ)]。(25)

　　其中：

　　CIIIk=1π∫π-πHIIIθicos(kθ)dθ，(26)

　　DIIIk=1π∫π-πHIIIθisin(kθ)dθ。(27)

　　结合式(21)，可得：

　　AII0=C30+D30lnRs， (28)

　　AIIm=C3i(RsRt)Fm+D3i，(29)

　　CIIIk=0， (30)

　　DIIIk=-kμrμ0RsMrkk2-1。(31)

　　在子域III(定子槽口)和子域IV(定子槽)的交界面(r=Rt)上，邊界条件为：

　　AIIIi(Rt，θ=θi±α0/2)=AIVi(Rt，θ=θi±α0/2)，

　　HIIIθi(Rt，θ=θi±α0/2)=HIViθ(Rt，θ=θi±α0/2)。(32)

　　将矢量磁位AIVi统一到上，可得

　　AIVi=AIVi0+∑mAIVimcos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(33)

　　其中：

　　AIVi0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVidθ，(34)

　　AIVim=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVicos[Fm(θ-θi+α0/2)]dθ。(35)

　　将磁密BIIIθi统一到上，可得

　　BIIIθi=B0+∑nBncos[En(θ-θi+αa/2)]。(36)

　　其中：

　　B0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθidθ，(37)

　　Bn=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθicos[En(θ-θi+αa/2)]dθ。(38)

　　结合式(32)可得：

　　AIVi0=C30+D30lnRt，(39)

　　AIVim=[C3i+D3i(RtRs)-Fm]，(40)

　　B0=-μ0Ji02(R2sbRt-Rt)，(41)

　　Bn=-EnD4iRt[G2(RtRsb)En-1]-

　　2μ0JinE2n-4[Rt-R2sbRt(RtRsb)En]。(42)

　　在子域I(气隙)和子域V(转子槽)的交界面(r=Rr)上，边界条件为：

　　AI(Rr，θ=θi±αra/2)=AVj(Rr，θ=θi±αra/2)，

　　HIθ(Rr，θ=θi±αra/2)=HIVjθ(Rr，θ=θi±αra/2)。(43)

　　将矢量磁位AI统一到上，可得

　　AI=AI0+∑mAImcos[Fm(θ-θj+αra/2)]。(44)

　　其中：

　　AI0=1αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIdθ，(45)

　　AIm=2αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIcos[Fm(θ-θj+αra/2)]dθ。(46)

　　将磁密切向分量BVθj统一到上，可得

　　BVθj=∑k[CVkcos(kθ)+DVksin(kθ)]。(47)

　　其中：

　　CVk=1π∫π-πBVθjcos(kθ)dθ，(48)

　　DVk=1π∫π-πBVθjsin(kθ)dθ。(49)

　　结合式(43)可得：

　　AI0=C50，(50)

　　AIm=D5j[(RrRrb)Gm+(RrRrb)-Gm]，(51)

　　CIIIk=kRr[A1(RrRm)k-B1]，(52)

　　DIIIk=kRr[C1(RrRm)k-D1]。(53)

　　结合式(17)～式(20)、式(28)～式(31)、式(39)～式(42)、式(50)～式(53)，可以求解未知参数，进而得到各个子域内矢量磁位。

　　4计算结果与仿真验证

　　基于子域法解析模型，对一台定子6槽转子16槽VHM的性能进行了分析计算，样机的主要结构参数如表1所示。

　　图3为电机空载气隙磁密径向和切向分量曲线，解析法和有限元法的结果吻合，磁密径向分量曲线中，在0°、60°、120°、180°、240°、300°这6个角度所在区间的磁密为0，对应6个定子槽口。

　　对电机的空载气隙磁密径向分量进行快速傅里叶变换，主要谐波的幅值和相位角随转子位置的变化曲线如图4所示。气隙磁密径向分量中，幅值最大的谐波极对数为18，且相位保持不变，代表式(3)中的Qpm对极静止磁场分量;旋转分量的极对数分别为Qpm-Qr=2和Qpm+Qr=34，根据相位角的变化可知，转子旋转1个齿距，两旋转分量均变化1个周期。

　　图5为施加幅值为10 A的三相正弦电流负载时的电机气隙磁密径向和切向分量的计算结果，解析法和有限元法的结果较为吻合。通过与图3的对比可以看出，当电流幅值为10 A时，气隙磁场径向和切向分量与空载相差不大，说明电机的电枢反应较弱，电枢电流产生的磁场对气隙中的磁场分布影响较小。

　　电机的定子绕组位于子域IV(定子槽)中，可通过矢量磁位AIVi计算第i个定子槽内线圈边的磁链，从而得到每相绕组的磁链。

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文章名称： 基于子域法的游标混合电机电磁性能解析计算

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