多元变式在数学单元后建构课中的应用

　　摘 要：在“解直角三角形”单元后建构教学中，基于对教材的理解，调整教学顺序，以问题为主线，精选条件变式、创设情境变式、拓展图形变式，呈现教学流程、效能分析及教学建议，指出单元后建构中变式要以学生的学习为主体、书本范例为载体、核心内容为基础、能力提升为目标.

　　关键词：多元变式;单元后建构;解直角三角形;数学模型

　　一、问题提出

　　后建构课堂是指在后建构主义理论指导下，在新知识教学结束后，帮助学生建构知识结构和认知结构，感悟知识价值和思想方法的课堂. 其目的在于运用后建构主义理论设计各种教学策略，引发学生主动建构知识结构的意识，指导学生建构认知结构的方法，进而逐步感悟知识价值和其中蕴涵的数学思想方法. 后建构课堂主要有综合与实践、章尾课、单元复习、专题复习等课堂形式. 后建构课堂是课堂教学活动的高级形式，相对于新授课堂而言，在思维方式的训练、思维品质的形成、数学素养的培育上具有质的不同. 它不再仅仅满足于学生对知识的简单复习和应用，而是更注重学生对知识的整体建构和深入理解，更加关注对学生数学学科核心素养的培育. 单元后建构课不是简单的知识重复，它具有知识的系统性、方法的应用性、能力的综合性等特点. 因此，教师要在有限的课堂时间内从单元教学的核心知识出发，让学生延伸知识脉络、拓宽解题技巧、提升解题能力，但这并非易事. 在实际教学中，有的教师或者用一本复习资料“打天下”，或者根据教学经验面面俱到地堆砌知识，要么以强化练习代替单元后建构. 这样的单元后建构课是否有效呢?学生能否基于核心知识有效提升能力?答案显然是否定的.

　　为此，笔者将目光投向了变式教学，不断变更核心知识的问题情境或改变学生的思维角度，使得核心知识的非本质属性不断迁移，以揭示其本質属性，从而以明确本质、外延变化方式的特点来提高单元后建构课的有效性. 下面，笔者以一节“解直角三角形”单元后建构课为例，来探索如何利用变式教学提高单元后建构课的效能.

　　二、教法分析

　　“解直角三角形”是苏教版《义务教育教科书·数学》(以下统称“教材”)九年级下册第7章第5节的内容. 本节课要求学生能综合运用前面所学知识，通过添加适当的辅助线来构建直角三角形，从而解决较为复杂的实际问题. 配套的教师教学用书中给出的教学思路为“提出实际问题—引导分析问题(提炼有效信息)—建构数学模型—得出结论”. 那么，如何使学生更容易理解数学模型这一核心知识呢?如何使学生对数学模型的理解更为透彻、研究更为深入呢?这些都成了备课的难点. 经过研究教材，笔者决定改变教师教学用书中给出的教学顺序，先给出基本模型，再转化成基本模型的变式，让学生从变化的条件中体会本节课核心知识的不变性，从不变的知识中体验数学思想方法，最后让学生在核心知识的基础上搭建丰富的实际问题情境，让学生学会举一反三，进而培养学生的创新能力，优化学生的思维品质.

　　三、教学流程展示及复习效能分析

　　1. 精选条件变式，一图多问，认识数学模型，引导方法探索

　　(1)变式展示.

　　例 如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [∠B=45°，] [AC=2. ]求BC和AB的长.

　　变式1：如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [BC=2，] [AC=2. ]求∠B的度数和AB的长度.

　　变式2：如图1，在△ABC中，[∠A=30°，] [∠B=45°，][AB=5. ]你会求AC，BC吗?

　　(2)教学流程.

　　教师先给出典型例题(已知两角一边)，师生共同探究，通过添加适当的辅助线来构建直角三角形. 如图2，过点C作CD⊥AB，将问题放在Rt△ACD和Rt△BCD中后，在已有的知识经验“直角三角形中，已知两边或一角一边 ，就可以解直角三角形”的基础上，学生很容易利用锐角三角函数来解决问题. 教师顺势将例题的条件变化为变式1(已知两边一角). 由于有了例题的启发，学生自然而然想到了构建直角三角形来解决问题. 在解决变式1的基础上，教师进一步启发：在任意的三角形中，如果已知两角一边或两边一角，可以解出其余的边和角吗?进而丰富学生的认知体验.

　　接着，教师给出变式2(已知两角一边). 由于有前面解决问题的知识经验做铺垫，学生信心十足. 部分学生能主动添加辅助线，辅助线作法同图2，得到了Rt△ACD和Rt△BCD，再从公共边CD入手思考问题. 要求AC和BC的长，必须先求出CD的长. 设CD = x，列出关于x的方程[3x+x=5]. 这时学生对解任意三角形知识的理解又深入了一步，明白“当有些量不能直接求时，可以设中间量过渡”. 最后，教师让学生观察，虽然这组变式中问题的条件变化了，但是所用数学方法的本质属性没变.

　　(3)效能分析.

　　以上变式符合学生的认知规律，基于教材又跳出了教材，由浅入深，环环相扣，揭示了数学模型的本质特征. 教师通过对例题的条件进行变式和推广，引导学生拓展问题解决的方法，拓宽学生认识问题的广度，更为重要的是让学生尝试运用类比进行科学发现. 在问题解决的过程中，通过条件的变式让学生由浅入深、步步深化，透过现象看到了数学本质，帮助学生迈出了认识数学模型的第一步，发挥了变式教学的最大功效，从而提高了课堂的容量和复习的效率.

　　(4)教学建议.

　　通过对范例实施变式，围绕方法的本质属性，进而优化解法，培养学生思维的广阔性和灵活性.

　　教师应做到：在学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、点拨;对所用到的解题方法、规律加以梳理、概括，纳入知识方法体系;对研究问题的方法加以总结，使学生掌握科学研究问题的方法.

　　学生应努力做到： 自主探索解法，解决问题;探索多角度思考问题、多渠道寻求解决问题的方法;相互交流，相互启发，扩大探索成果;自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能.

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文章名称： 多元变式在数学单元后建构课中的应用

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