基于数学核心素养立意的问题驱动教学

　　【摘要】问题驱动教学，教学培养学科素养.问题始终伴随着数学教学，特别是概念教学，更应该注重与学生思维的连接.本文通过问题的设计，以核心素养为引领，旨在促进学生对数学定义的理解、对数学知识的掌握，推动数学核心素养的提高.

　　【关键词】问题驱动;数学核心素养;数学知识的掌握

　　问题是促使数学发展的源动力，数学上许多基本的、核心的概念与原理都是为了解决许许多多的实际问题而产生的.因此，在教学中教师应以问题为中心，让学生在解决问题的过程中形成相应的概念与原理.《普通高中数学课程标准(2017版)》指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人发展的过程中发挥着不可替代的作用，数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养.因此，每一节数学课都蕴含着提高学生科学素养的目的，也体现了学科育人的目的.本文着力于以数学核心素养为导向，渗透在任意角的三角函数定义的每一个环节，精心设计问题，旨在提高学生的数学核心素养.

　　一、任意角的三角函数定义的教学过程

　　1.情境引入，引出问题

　　问题1 点P为摩天轮上的任意一点，如何表示点P的位置?

　　设计意图：在摩天轮模型中，通过对一点的观察与分析，引导学生能够用(x，y)和(r，α)两种方式准确描述出点的位置，并初步体会到两者之间的关系，提高学生的观察能力.

　　问题2 在直角坐标系xOy中，同一点P的坐标(x，y)和(r，α)之间有什么关系?为什么?

　　设计意图：引导学生了解在坐标系中研究点的位置时，P点在第一象限时有如下结论：sin a=yr，

　　cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并让学生联想初中学过的三角函数的定义.

　　2.回顾旧知，找寻本质

　　问题3 在初中，锐角A的正弦、余弦、正切值分别是如何定义的?

　　学生通过回忆：锐角A的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)都叫作角A的锐角三角函数.

　　正弦(sin)等于对边比斜边：sin A=ac，

　　余弦(cos)等于鄰边比斜边：cos A=bc，

　　正切(tan)等于对边比邻边：tan A=ab.

　　设计意图：从学生原有的认知结构出发，为推广任意角的三角函数做准备.

　　通过前两问的引导，学生已经初步回忆起了锐角三角函数值的定义.教师此时再发问，学生可以回答得顺理成章，也为本节课的任意角的三角函数进行引入.

　　问题4 在直角坐标系中，30°角的三角函数值怎么求?

　　设计意图：将角置于直角坐标系中时，学生会想到初中学过的三角函数的几何定义，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜边上取点，取点依据是30°角所对的直角边等于斜边的一半.教师带领学生得出特殊点，比如P(3，1)，接着教师提问：还可以取其他点求吗?探究发现：在30°角终边上任取一点(x，y)，这些比值都相等;只要角确定，终边就确定;只要角的终边确定，三角函数值就不变;可以用坐标表示锐角三角函数等结论.

　　3.积累素材，建构数学

　　问题5 在直角坐标系中，你认为390°角的三角函数值怎么定义?

　　设计意图：教师引导学生继续回到摩天轮模型中讨论，结合直角坐标系，得出390°和30°两角终边相同，三角函数值也对应相等.教师创设认知冲突的情境，引导学生通过讨论摒弃原先的概念，让学生通过求390°角的三角函数值，体会用坐标来表示三角函数的必要性和合理性，提高学生的探索能力，为引入任意角的三角函数的定义做准备.

　　问题6 如何定义3π4角的三角函数值?

　　设计意图：有了390°角三角函数的求法经验，学生可以在角的终边上选点，按照坐标相应比值来计算，通过操作用坐标来表示3π4的三角函数值，感受新定义的运算.

　　问题7 如何定义任意角的三角函数?(给出任意角的三角函数的定义)

　　经过讨论发现对于任意角α，在其终边上任意取一点P(x，y)，比值yr，xr，yx都是唯一确定的，因此得到

　　f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

　　f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

　　f3：α→yx——正切：tan α=yx(x≠0).

　　设计意图：学生通过讨论能够说出任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，体会坐标思想，体验数学概念的推理过程，树立勇于探索、善于发现的创新意识.

　　4.函数思想，加深理解

　　问题8 sin α，cos α，tan α是α的函数吗?

　　通过回顾函数的定义，讨论得出结论：对于确定的角α，比值yr和xr都是唯一确定的，故正弦和余弦都是角α的函数.当α≠π2+kπ(k∈Z)时，对于确定的角α，比值yx也是唯一确定的，故正切也是角α的函数.sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三个函数我们都称为三角函数.

　　设计意图：让学生结合函数的定义，分析得出三角函数是函数，将三角函数统一理解.

　　问题9 sin α，cos α，tan α的符号如何确定?

　　利用任意角的三角函数定义，根据角的终边的位置判断任意角的三角函数值的符号.

　　设计意图：通过函数的概念类比得到任意角的三角函数定义，对“任意角的三角函数”的概念有进一步的理解.

　　5.例题解决，巩固所学

　　例1 已知角α的终边经过点P(2，-3)，求α的正弦值、余弦值、正切值.

　　例2 确定下列三角函数值的符号.

　　(1)cos 7π12 ;(2)sin(-465°) ;(3)tan11π3.1

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