不完全投影下的CT图像重建仿真研究

　　摘 要：低剂量辐射是CT成像中的研究热点和难点，而不完全角度投影又是低剂量辐射中的一种有效手段。因此对不完全角度投影的重建问题也是一个研究热点。建立在CS理论基础上的TV-EM算法虽然能够克服传统算法的重建精度不高，去噪能力不明显等特点，但也对边缘进行了过度平滑。本文在惩罚正则项中加入中值先验分布，在抑制噪声的同时更能保留边缘信息。加入中值先验，形成新的TV-EM算法，并将其应用于不完全投影下的重建。通过仿真实验，选择合适的惩罚因子，验证了其超强的抗噪能力和稳健的收敛性。

　　关键词：不完全投影重建;稀疏惩罚;贝叶斯方法

　　1 引言

　　随着科技的发展，CT在临床诊断中的作用日显重要。而人们对健康的重视程度也越来越高。因此CT在医学诊断中的扫描所产生的射线辐射也受到人们的广泛关注。毕竟，射线辐射对人体健康是有损害的。据报道，接受超过28次CT扫描的患者致癌几率比平均水平高12%，而儿童在接受CT检查时所受的辐射影响会更大。因此，人们都希望接受足够小的辐射，而能得到精确的CT图像辅助诊断。因此，低剂量辐射也成为医学影像中亟待解决的热点和难点。而有限角度和稀疏角度重建就是降低辐射剂量的一种有效手段。

　　在不完全角度投影数据条件下，无论是有限角度还是稀疏角度，经典FBP算法的重建结果总是不够理想，虽然重建速度快，但是存在伪影，甚至有一部分信息严重缺失，导致重建图像质量不尽如人意[1]。这就推动了迭代重建算法的研究。2006年，Candes等[2]提出了压缩感知(CS)理论。随后做了大量重建算法的研究，如Sidky等人提出全变分最小化算法[3，4]，Chen等[5]于2008年提出PICCS算法，而Wang等[6]于2010年提出RRD算法，Zhang等[7]于2013年提出ADTVM算法，都是基于CS理论，选取一种或几种稀疏变换作为目标函数，再以成像模型AX=P作为约束条件，再求解出重建图像[8]。在实际成像过程中，由于数据的随机噪声和成像模型的非随机误差，造成成像模型AX=P总是不相容的。所以用成像模型AX=P作为约束条件并不总是最合适的。本文研究的TV-EM(全变差-期望最大)算法[9]，是用贝叶斯方法建立目标函数，以ML-EM算法作为基础，以图像X的稀疏变换提取图像的先验知识，加入图像的中值先验到每一步迭代中，从而改善重建图像的质量[10，11]。

　　2 获取投影

　　重建物体的离散模型以网格像素(二维图像)的形式进行刻画，获取投影数据模型如图1所示[12]。探测器检测结果为射线方向的累积值，并假设射线没有宽度。探测器检测的投影值与射线穿过体素的长度相关。实际上投影值是用像素内的线段长度加权的像素值的和。

　　这里，像素值xj为第j个像素的灰度值。探测器的第i个探测元发出的射线在每个像素内的线段长度记为aij。如果第i条射线与第j个像素不相交，则aij=0。而第i条射线的投影值pi是探测到的光子数。而投影方程可表示为：

　　pi=aijxj

　　3 贝叶斯图像重建原理

　　对于一个成像问题来说，假定每一个图像像素发出的光子数是一个独立的泊松随机变量。而实际上第i个探测元理论上探测到像素j发出的光子数的均值是aijxj。而所有的探测元探测到的pi组成一个样本。那么可建立似然函数[17]：

　　prob=∏i(∑jaijxj) (2-1)

　　取对数似然

　　ln(prob)=∑i[-∑jaijxj+piln(∑jaijxj)-lnpi!] (2-2)

　　在图像重建中，ML-EM方法就是寻找一个解，使得探测到的数据最有可能发生，即最大化概率Prob，其中pi为探测到的投影数据，而xj是待求图像。可用如下优化目标来表示：

　　=argmaxx≥0ln(prob) (2-3)

　　为求解目标(2-3)，Shepp和Vardi提出ML-EM算法，迭代公式[16]为：

　　j=∑i (2-4)

　　其中pi中是投影数据，xj是图像当前估计值。

　　4 TV-EM算法

　　TV约束是基于Donho，Candes和Tao等提出的压缩感知理论，假定图像具有分段光滑性质。选择图像具有稀疏性的TV范数作为正则项，加入(2-3)作为正则约束。

　　根据Candes和Donoho提出的理论，图像重建目标变为：

　　=argmaxx≥0ln(prob)+?琢TV(x) (3-1)

　　?琢——正则化参数

　　TV(x)——圖像的TV范数

　　TV(全变差)范数是图像的梯度的l1范数，但由于使用起来不方便，习惯用l2范数近似代替l1范数，这样就可以对TV范数求导了。但是l2范数在抑制噪声的同时，把边缘信息也过度平滑了。引入TV范数为稀疏惩罚项的TV-EM算法迭代公式[9]为：

　　j=∑i (3-2)

　　其中，TV范数求偏导是离散化后的公式[12]：

　　=

　　+

　　- (3-3)

　　参数?着是一个很小的数，为了避免分母为0。

　　5 中值先验

　　中值先验在降低噪声的同时，也保持了图像的边缘，它的分布如下[18]：

　　R(x)=aexp-∑j

　　a——常数;

　　?茁——正则化参数;

　　Mj——领域中像素的中间值。

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文章名称： 不完全投影下的CT图像重建仿真研究

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