基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统设计

　　摘 要： 针对传统电磁场数值计算系统的计算结果与理论值的均方误差较大的问题，设计基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统。在传统计算系统硬件的基础上，设计以FPGA为核心的积分计算系统硬件。以设计的系统硬件部分为基础，设计系统的软件部分。使用傅里叶变换将频域电磁场信号转换为时域信号，根据留数定理，编写程序对时域内的电磁信号函数积分求解，完成对计算系统的设计。通过与传统的电磁场数值计算系统的对比实验，证明了设计的基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统的均方误差更小，更具有优越性。

　　关键词： 时域; 电磁场数值; 积分计算; 系统设计; 留数定理; 傅里叶变换

　　0 引 言

　　奧斯特发现通电磁体周围存在磁场，建立了电磁场理论。电磁场是一种由带电物体上的电荷运动产生的磁场，是电场和磁场相互依存、不断联系的统一体。在电磁场中，能量以电磁波的形式存在。电磁场广泛应用在机电能量转换、电力系统、通信、生物电磁学、电磁兼容以及信息存储等工程领域。随着近代科学的不断发展，麦克斯韦建立的电磁场理论不断被完善，求解电磁场数值的方法不断发展，有限差分法、时域有限差分法、有限元法和矩量法是电磁场数值方法中比较重要的几种方法[1?2]。计算机科学的快速发展使这些电磁场数值计算方法被大量的应用。传统的差分电磁场计算系统在对电磁场数值积分计算时受自身局限性影响，不能对开区域电磁场的连续分布分量进行求解。

　　留数定理是根据柯西定理在复分析中用来计算积分或曲线路径。留数定理通过在函数孤立奇点的邻域内展开洛朗级数，经过逐项积分得到近似解[3]。留数定理能够提高积分计算精度，简化计算过程。因此，本文设计基于留数定理的时域电磁场数值计算系统。

　　1 基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统硬件设计

　　在原有系统硬件基础上设计基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统的硬件部分，采用FPGA作为硬件部分的核心，利用FPGA芯片内部集成的大量可编程资源实现计算系统对数值计算高精度的要求。

　　ALTERA公司的FPGA开发板如图1所示，该开发板上的FPGA芯片内存为270 KB，具有15个18×18 Multipliers乘法器、10个时钟单元以及179个I/O接口。片内的SPI FLASH可以存储FPGA的配置文件以及计算过程中的缓存数据[4]。开发板上的JTAG接口可以通过该端口对FPGA进行调试和程序固化。配置复位按键，可以在二次计算校验时，一键复位，避免重新下载相关程序。

　　FPGA通电后需要对FPGA进行配置，在设计系统阶段本文采用JPGA模式配置FPGA。存儲在串行的PROM中的配置文件经过JPGA串口，在配置时钟信号CCLK控制下执行配置操作。按照图2配置所示，将配置文件存储在PC机中。经过JPGA串口，从PC机处读取配置文件并存入SRAM，实现对FPGA的配置[5]。基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统运行时，使用具有32位地址总线的PLB总线实现FPGA与PC机之间的通信。当执行软件任务时，PC端将处理完毕的时域电磁场信号转换后，输入到FPGA完成积分计算。

　　2 基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统软件设计

　　2.1 电磁场数值时域转换处理

　　电磁场时域数值积分计算系统利用电磁场强度采集器采集电磁场强度信号。该信号是在频域上的电磁场强度信号，为方便使用留数定理计算电磁场数值，需要对采集器信号进行频域?时域转换[6?7]。

　　采用傅里叶变换法将频域电磁场数值转换为时域电磁场数值。将电磁场数值函数看作一个线性不变的系统，则频域与时域之间的转换关系如下：

　　[ht=12π-∞+∞Hωeiωtdω] (1)

　　式中：[t]为时域时间，单位为[s];[ω]为频域下电磁场运行时的角频率，单位为[rad/s];[H]为当前电磁场运行时的磁场强度，单位为[Am];[i]为复数下的虚数单位，满足[i2=1，i<0]。傅里叶变换下电磁场数值的时域与频域的对应关系如图3所示[8?9]。

　　傅里叶变换使用正弦波叠加完成，随着叠加的递增，正弦波中上升部分让原本增加的曲线不断变陡，而下降部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分，使其变为水平线，最终叠加形成一个矩形，多个矩形连接就变成了时域上的脉冲信号[10?11]。

　　傅里叶变换将复频域内的信号函数投影至实数空间的频域中，再将信号函数的各频率进行成分累计，转换成时域上的信号。因此，只要确定了频域中电磁场的磁场强度就可以通过傅里叶变换，转换为时域中的信号[12?13]。

　　根据麦克斯韦的微分方程，在时域内使用中心差分法近似离散得到直角坐标下的麦克斯韦方程，如下：

　　[?Hz?y-?Hy?z=ε?Ex?t+σEx?Hx?z-?Hz?x=ε?Ey?t+σEy?Hy?x-?Hx?y=ε?Ez?t+σEz?Ez?y-?Ey?z=-μ?Hx?t?Ex?z-?Ez?x=-μ?Hy?t?Ey?x-?Ex?y=-μ?Hz?t] (2)

　　式中：[E]为产生电磁场的电场强度，单位为[Vm];[ε]为电磁场中电磁介质的磁导率;[σ]为电磁场中电磁介质的介电常数;[μ]为电磁场中电磁介质的电导率[14]。使用傅里叶变换对电磁场数值做时域转换，并得到差分形式的麦克斯韦方程后，根据留数定理，求解时域电磁场数值积分结果。

　　2.2 留数定理求解时域电磁场数值积分

　　电磁场数值函数路径会围成一个封闭或半封闭的区域，留数定理是将除区域上的有限个奇点外的区域解析。即若电磁场数值函数路径围成区域为[B]，区域[B]上有限个孤立奇点[b1，b2，…，bn]，则函数[fz]围成路径的积分计算形式如下：

　　[lfzdz=2πij=1nRes fbj] (3)

　　式中：[z]为时域下电磁场数值函数的变化量;[Res fbj]为时域电磁场数值函数围成区域[B]上的留数点函数[15]。根据上述定理，编写计算器的计算程序，完成使用留数定理计算时域电磁场数值积分计算。

　　3 实 验

　　为验证本文设计系统的性能，设计了相关对比实验。

　　3.1 实验内容

　　实验测试组为本文设计的基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统，参考组为传统的电磁场数值计算系统。实验对比指标为2组系统计算时域电磁场数值的均方误差。对比实验对象为矩形区域内不同强度的电磁场。

　　3.2 实验准备

　　选用矩形金属槽，使用电磁场实验仪在金属槽内产生电磁场。通过电平控制输入电流的大小来控制电磁场的强度。实验环境见图4。

　　将电磁场强度采集器放置在指定位置，在实验过程中，由采集器将采集的电磁场强度输入测试组和参考组两个计算系统中，完成对电磁场数值的计算。在计算机上安装数据处理软件，分析两组计算系统的均方误差，并输出。

　　3.3 实验结果

　　实验结果见图5，曲线A为传统系统计算电磁场数值的均方误差曲线，曲线B为本文设计系统计算电磁场数值的均方误差。

　　由图5可知，曲线A要远远高于曲线B，两条曲线的整体趋势都是先上升后下降;曲线A是先增加再减小，然后小幅度的增加后一直减少，曲线A和曲线B都减小到一定数值后不再变化，但是曲线A的最低值要高于曲线B的最低值;曲线A波动较大，曲线B比较平稳。相比传统系统，本文设计系统的计算均方误差更小，更具有优越性。

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文章名称： 基于留数定理的时域电磁场数值积分计算系统设计

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